Номер 27.10, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.10, страница 157.

Условие.

27.10 a) $-x^2 + 31x - 6 = 0$;

б) $-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{14} = 0$;

в) $-2\frac{5}{8}x^2 - \frac{3}{4}x - 4\frac{1}{12} = 0$;

г) $x^2 - 7x + 16 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $-x^2 + 31x - 6 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 31x + 6 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 1$, $b = -31$, $c = 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 961 - 24 = 937$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Число 937 является простым, поэтому $\sqrt{937}$ не упрощается.

Корни уравнения находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-31) \pm \sqrt{937}}{2 \cdot 1} = \frac{31 \pm \sqrt{937}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{31 - \sqrt{937}}{2}, x_2 = \frac{31 + \sqrt{937}}{2}$.

б) $-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{14} = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения изолируем член с $x^2$:

$-\frac{1}{3}x^2 = -\frac{3}{14}$

Умножим обе части уравнения на $-3$:

$x^2 = \frac{3}{14} \cdot 3$

$x^2 = \frac{9}{14}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{14}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{14}} = \pm\frac{3}{\sqrt{14}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{14}$:

$x = \pm\frac{3\sqrt{14}}{14}$

Ответ: $x = \pm\frac{3\sqrt{14}}{14}$.

в) $-2\frac{5}{8}x^2 - \frac{3}{4}x - 4\frac{1}{12} = 0$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{5}{8} = \frac{16+5}{8} = \frac{21}{8}$

$4\frac{1}{12} = \frac{48+1}{12} = \frac{49}{12}$

Уравнение примет вид:

$-\frac{21}{8}x^2 - \frac{3}{4}x - \frac{49}{12} = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (8, 4, 12), которое равно 24. Умножим на $-24$, чтобы старший коэффициент стал положительным:

$-24 \cdot (-\frac{21}{8}x^2) - 24 \cdot (-\frac{3}{4}x) - 24 \cdot (-\frac{49}{12}) = 0$

$(3 \cdot 21)x^2 + (6 \cdot 3)x + (2 \cdot 49) = 0$

$63x^2 + 18x + 98 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 18^2 - 4 \cdot 63 \cdot 98 = 324 - 24696 = -24372$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г) $x^2 - 7x + 16 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -7$, $c = 16$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.