Номер 27.3, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 27. Основные понятия - номер 27.3, страница 156.

Условие.

27.3 a) $7x^2 + 12x - 5 = 0;$

б) $-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{14} = 0;$

в) $\frac{2}{5}x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{5}{12} = 0;$

г) $-4x^2 - 7x + 16 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано квадратное уравнение $7x^2 + 12x - 5 = 0$. Это полное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=7$, $b=12$, $c=-5$. Для решения используем формулу корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:
$\Delta = 12^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-5) = 144 + 140 = 284$.
Так как $\Delta > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{284} = \sqrt{4 \cdot 71} = 2\sqrt{71}$.
$x_{1,2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{71}}{2 \cdot 7} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{71}}{14} = \frac{2(-6 \pm \sqrt{71})}{14} = \frac{-6 \pm \sqrt{71}}{7}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-6 + \sqrt{71}}{7}, x_2 = \frac{-6 - \sqrt{71}}{7}$.

б) Дано уравнение $-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{14} = 0$. Это неполное квадратное уравнение, для его решения выразим $x^2$:
$-\frac{1}{3}x^2 = -\frac{3}{14}$.
Умножим обе части уравнения на -3:
$x^2 = \frac{3}{14} \cdot 3 = \frac{9}{14}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{14}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{14}} = \pm\frac{3}{\sqrt{14}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$:
$x = \pm\frac{3\sqrt{14}}{14}$.
Ответ: $x = \pm\frac{3\sqrt{14}}{14}$.

в) Дано уравнение $\frac{2}{5}x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{5}{12} = 0$. Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 5, 7 и 12, которое равно 420.
$420 \cdot \left(\frac{2}{5}x^2\right) - 420 \cdot \left(\frac{1}{7}x\right) - 420 \cdot \left(\frac{5}{12}\right) = 0$.
$(84 \cdot 2)x^2 - 60x - (35 \cdot 5) = 0$.
$168x^2 - 60x - 175 = 0$.
Решаем полученное уравнение с целыми коэффициентами ($a=168, b=-60, c=-175$) через дискриминант:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 \cdot 168 \cdot (-175) = 3600 + 117600 = 121200$.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{121200} = \sqrt{100 \cdot 4 \cdot 303} = 20\sqrt{303}$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{60 \pm 20\sqrt{303}}{2 \cdot 168} = \frac{60 \pm 20\sqrt{303}}{336}$.
Сократим дробь на 4:
$x_{1,2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{303}}{84}$.
Ответ: $x_1 = \frac{15 + 5\sqrt{303}}{84}, x_2 = \frac{15 - 5\sqrt{303}}{84}$.

г) Дано уравнение $-4x^2 - 7x + 16 = 0$. Умножим уравнение на -1 для удобства:
$4x^2 + 7x - 16 = 0$.
Это полное квадратное уравнение, где $a=4$, $b=7$, $c=-16$. Вычислим дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$:
$\Delta = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-16) = 49 + 256 = 305$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{305}$ не упрощается, так как $305 = 5 \cdot 61$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{305}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 \pm \sqrt{305}}{8}$.
Ответ: $x_1 = \frac{-7 + \sqrt{305}}{8}, x_2 = \frac{-7 - \sqrt{305}}{8}$.