Номер 9, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 9, страница 155.

Условие.

9 Исследуйте на монотонность функцию $y = \frac{3}{x+1} - 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы исследовать функцию $y = \frac{3}{x + 1} - 4$ на монотонность, необходимо найти её область определения, вычислить производную и определить знак производной на интервалах области определения.

Сначала найдем область определения функции. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому она определена для всех значений $x$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Точка $x=-1$ является точкой разрыва.

Далее найдем производную функции $y(x)$:

$y' = \left(\frac{3}{x + 1} - 4\right)' = \left(\frac{3}{x + 1}\right)' - (4)'$

Производная константы равна нулю. Для нахождения производной дроби воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или правилом для степенной функции $ (kx^n)' = knx^{n-1} $.

Используя второй способ, представим функцию как $y = 3(x+1)^{-1} - 4$.

$y' = (3(x+1)^{-1})' - (4)' = 3 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-1-1} \cdot (x+1)' - 0 = -3(x+1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x+1)^2}$

Теперь проанализируем знак производной $y' = -\frac{3}{(x+1)^2}$ на области определения функции.

Числитель дроби равен $-3$, он всегда отрицателен.

Знаменатель дроби, $(x+1)^2$, является квадратом выражения и всегда положителен при любом $x$ из области определения функции (так как $x \neq -1$).

Следовательно, производная $y'$ является частным отрицательного и положительного числа, а значит, она отрицательна на всей области определения функции:

$y' < 0$ для всех $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Согласно достаточному условию монотонности функции, если производная функции отрицательна на некотором интервале, то функция на этом интервале строго убывает. Поскольку производная отрицательна на обоих интервалах области определения, функция убывает на каждом из этих интервалов.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -1)$ и на промежутке $(-1; +\infty)$.