Номер 8, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №3. Вариант 2. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 8, страница 155.

Условие.

8 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} |x + 1| - 1, \text{ если } x < 1; \\ 2x^2 - 8x + 7, \text{ если } 1 \leq x \leq 4. \end{cases}$

а) Найдите $f(-3); f(1); f(9)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдите f(-3); f(1); f(9).

Для нахождения значений функции необходимо подставить аргумент $x$ в ту часть формулы, условию которой он удовлетворяет.

- Для $x = -3$. Это значение удовлетворяет условию $x < 1$, поэтому используем первую формулу $f(x) = |x + 1| - 1$.
$f(-3) = |-3 + 1| - 1 = |-2| - 1 = 2 - 1 = 1$.

- Для $x = 1$. Это значение удовлетворяет условию $1 \le x \le 4$, поэтому используем вторую формулу $f(x) = 2x^2 - 8x + 7$.
$f(1) = 2(1)^2 - 8(1) + 7 = 2 - 8 + 7 = 1$.

- Для $x = 9$. Это значение не принадлежит области определения функции $D(f) = (-\infty, 4]$, так как $9$ не меньше $1$ и не входит в отрезок $[1, 4]$. Следовательно, $f(9)$ не существует.

Ответ: $f(-3) = 1$; $f(1) = 1$; $f(9)$ не определена.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции состоит из двух частей. Для построения проанализируем каждую часть отдельно.

Часть 1. При $x < 1$ функция задается формулой $y = |x + 1| - 1$.
Это график модуля $y=|x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Вершина графика находится в точке $(-1, -1)$.
Раскроем модуль, чтобы представить график в виде двух лучей:
- Если $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, то $y = (x + 1) - 1 = x$. Это луч прямой $y=x$ на промежутке $[-1, 1)$.
- Если $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$, то $y = -(x + 1) - 1 = -x - 2$. Это луч прямой $y=-x-2$ на промежутке $(-\infty, -1)$.
Ключевые точки для этой части: вершина $(-1, -1)$; точки пересечения с осью Ox $(-2, 0)$ и $(0, 0)$. На границе $x=1$ имеем "выколотую" точку, так как неравенство строгое. Координаты этой точки $y = |1+1|-1=1$, то есть $(1, 1)$.

Часть 2. При $1 \le x \le 4$ функция задается формулой $y = 2x^2 - 8x + 7$.
Это часть параболы с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$).
Найдем координаты вершины параболы:
Абсцисса вершины: $x_в = -b / (2a) = -(-8) / (2 \cdot 2) = 2$.
Ордината вершины: $y_в = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 7 = 8 - 16 + 7 = -1$.
Вершина параболы $(2, -1)$ принадлежит отрезку $[1, 4]$.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
- $f(1) = 2(1)^2 - 8(1) + 7 = 1$. Координаты начальной точки $(1, 1)$. Эта точка "закрашенная".
- $f(4) = 2(4)^2 - 8(4) + 7 = 32 - 32 + 7 = 7$. Координаты конечной точки $(4, 7)$.

Объединение графиков:
Совмещаем построенные части. В точке $x=1$ "выколотая" точка $(1, 1)$ первого графика совпадает с начальной "закрашенной" точкой второго графика $(1, 1)$. Это означает, что функция непрерывна в этой точке. Итоговый график состоит из двух лучей, образующих "галочку" с вершиной в $(-1, -1)$ на интервале $(-\infty, 1)$, и участка параболы с вершиной в $(2, -1)$ на отрезке $[1, 4]$.

Ответ: График функции представляет собой объединение лучей $y = -x-2$ на $(-\infty, -1]$ и $y = x$ на $[-1, 1)$ с участком параболы $y = 2x^2 - 8x + 7$ на отрезке $[1, 4]$.

в) Перечислите свойства функции.

На основе определения функции и её графика перечислим основные свойства:

1. Область определения функции: Функция определена для $x < 1$ и $1 \le x \le 4$. Объединяя эти промежутки, получаем $D(f) = (-\infty, 4]$.

2. Область значений функции: Минимальное значение функции равно $-1$ (в точках $x=-1$ и $x=2$). При $x \to -\infty$, $f(x) \to +\infty$. Следовательно, $E(f) = [-1, +\infty)$.

3. Нули функции: $f(x)=0$.
- На $(-\infty, 1)$: $|x+1|-1 = 0 \implies |x+1|=1 \implies x+1=1$ или $x+1=-1$. Получаем $x=0$ и $x=-2$.
- На $[1, 4]$: $2x^2 - 8x + 7 = 0$. Дискриминант $D=64-56=8$. Корни $x = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба корня принадлежат отрезку $[1, 4]$.
Нули: $x=-2$, $x=0$, $x=2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x=2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 4]$.
- $f(x) < 0$ при $x \in (-2, 0) \cup (2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$.

5. Монотонность функции:
- Функция возрастает на промежутках $[-1, 1]$ и $[2, 4]$.
- Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, 2]$.

6. Точки экстремума:
- $x = -1$ и $x = 2$ — точки минимума. $y_{min} = f(-1) = f(2) = -1$.
- $x = 1$ — точка локального максимума. $y_{max} = f(1) = 1$.

7. Наибольшее и наименьшее значения:
- Наименьшее значение функции $y_{наим} = -1$.
- Наибольшего значения не существует, так как функция не ограничена сверху.

8. Чётность, нечётность: Функция является функцией общего вида, так как её область определения $D(f) = (-\infty, 4]$ несимметрична относительно начала координат.

9. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $D(f) = (-\infty, 4]$.

Ответ: Свойства функции (область определения и значений, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, ограниченность, чётность, непрерывность) подробно описаны выше.