Номер 27.4, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.4, страница 156.

Условие.

27.4 а) $(3x + 1)(2x - 3) + 4(x - 2) = 5(4 - 3x);$

б) $12 - 6(x + 3) - 7x = (x - 2)(x + 3);$

в) $(2x + 10)(x - 1) + 5(x - 2) = 2(7 + x);$

г) $1 + 3(2x - 4) + (2x - 1)(3 - 2x) = 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(3x + 1)(2x - 3) + 4(x - 2) = 5(4 - 3x)$

1. Раскроем скобки в каждой части уравнения:
$(3x \cdot 2x - 3x \cdot 3 + 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3) + (4 \cdot x - 4 \cdot 2) = 5 \cdot 4 - 5 \cdot 3x$
$(6x^2 - 9x + 2x - 3) + (4x - 8) = 20 - 15x$

2. Упростим выражение, приведя подобные слагаемые в левой части:
$6x^2 - 7x - 3 + 4x - 8 = 20 - 15x$
$6x^2 - 3x - 11 = 20 - 15x$

3. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$6x^2 - 3x - 11 - 20 + 15x = 0$
$6x^2 + 12x - 31 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней. Сначала найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-31) = 144 + 744 = 888$
$\sqrt{D} = \sqrt{888} = \sqrt{4 \cdot 222} = 2\sqrt{222}$

5. Найдем корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{222}}{2 \cdot 6} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{222}}{12} = \frac{2(-6 \pm \sqrt{222})}{12} = \frac{-6 \pm \sqrt{222}}{6}$

Ответ: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{222}}{6}$.

б) $12 - 6(x + 3) - 7x = (x - 2)(x + 3)$

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$12 - 6x - 18 - 7x = x^2 + 3x - 2x - 6$

2. Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$-13x - 6 = x^2 + x - 6$

3. Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$0 = x^2 + x - 6 + 13x + 6$
$x^2 + 14x = 0$

4. Решим неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 14) = 0$

5. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x + 14 = 0$, откуда $x_2 = -14$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -14$.

в) $(2x + 10)(x - 1) + 5(x - 2) = 2(7 + x)$

1. Раскроем скобки:
$(2x^2 - 2x + 10x - 10) + (5x - 10) = 14 + 2x$

2. Упростим левую часть уравнения:
$2x^2 + 8x - 10 + 5x - 10 = 14 + 2x$
$2x^2 + 13x - 20 = 14 + 2x$

3. Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + 13x - 20 - 14 - 2x = 0$
$2x^2 + 11x - 34 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-34) = 121 + 272 = 393$

5. Найдем корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{393}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{393}}{4}$

Ответ: $x = \frac{-11 \pm \sqrt{393}}{4}$.

г) $1 + 3(2x - 4) + (2x - 1)(3 - 2x) = 8$

1. Раскроем скобки:
$1 + (6x - 12) + (2x \cdot 3 - 2x \cdot 2x - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2x) = 8$
$1 + 6x - 12 + (6x - 4x^2 - 3 + 2x) = 8$

2. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые:
$1 + 6x - 12 - 4x^2 + 8x - 3 = 8$
$-4x^2 + 14x - 14 = 8$

3. Перенесем 8 в левую часть:
$-4x^2 + 14x - 14 - 8 = 0$
$-4x^2 + 14x - 22 = 0$

4. Для удобства разделим все уравнение на -2:
$2x^2 - 7x + 11 = 0$

5. Вычислим дискриминант, чтобы определить наличие действительных корней:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 49 - 88 = -39$

6. Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.