Номер 27.8, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.8, страница 157.

Условие.

27.8 а) Старший коэффициент равен 1, коэффициент при $x$ равен $-1$;

б) старший коэффициент равен $\frac{2}{9}$, коэффициент при $x$ равен $-3\frac{1}{4}$, свободный член равен $1\frac{3}{5}$;

в) старший коэффициент равен 6, свободный член равен 3,5;

г) старший коэффициент равен $-\frac{7}{13}$, коэффициент при $x$ равен $4\frac{4}{7}$, свободный член равен $-4\frac{1}{3}$.

Какие из следующих квадратных уравнений являются приведёнными? Какое преобразование надо выполнить, чтобы неприведённое квадратное уравнение стало приведённым? Выполните это преобразование.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ – старший коэффициент, $b$ – коэффициент при $x$, и $c$ – свободный член.

Приведённым называется квадратное уравнение, у которого старший коэффициент $a$ равен 1.

Чтобы преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое, необходимо разделить обе части уравнения на его старший коэффициент $a$ (при условии, что $a \neq 0$).

---

а) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = 1$, коэффициент при $x$ равен $b = -1$. Свободный член $c$ не задан, поэтому принимаем $c = 0$.
Составляем уравнение: $1 \cdot x^2 + (-1) \cdot x + 0 = 0$, что равносильно $x^2 - x = 0$.
Поскольку старший коэффициент $a = 1$, данное уравнение является приведённым. Преобразование не требуется.
Ответ: Уравнение: $x^2 - x = 0$. Это приведённое квадратное уравнение.

б) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = \frac{2}{9}$, коэффициент при $x$ равен $b = -3\frac{1}{4}$, свободный член равен $c = 1\frac{3}{5}$.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби: $b = -3\frac{1}{4} = -\frac{13}{4}$ и $c = 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
Исходное уравнение: $\frac{2}{9}x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{8}{5} = 0$.
Так как $a = \frac{2}{9} \neq 1$, это уравнение неприведённое. Чтобы сделать его приведённым, разделим все его члены на $a = \frac{2}{9}$:
$x^2 + (-\frac{13}{4} \div \frac{2}{9})x + (\frac{8}{5} \div \frac{2}{9}) = 0$
$x^2 + (-\frac{13}{4} \cdot \frac{9}{2})x + (\frac{8}{5} \cdot \frac{9}{2}) = 0$
$x^2 - \frac{117}{8}x + \frac{36}{5} = 0$
Ответ: Исходное уравнение $\frac{2}{9}x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{8}{5} = 0$ является неприведённым. Приведённое уравнение: $x^2 - \frac{117}{8}x + \frac{36}{5} = 0$.

в) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = 6$, свободный член $c = 3,5$. Коэффициент при $x$ не задан, поэтому $b = 0$.
Исходное уравнение: $6x^2 + 3,5 = 0$.
Так как $a = 6 \neq 1$, это уравнение неприведённое. Разделим все его члены на $a = 6$, чтобы получить приведённое уравнение:
$x^2 + \frac{3,5}{6} = 0$
Представим 3,5 как дробь $\frac{7}{2}$ для удобства вычислений:
$x^2 + \frac{7/2}{6} = 0$
$x^2 + \frac{7}{12} = 0$
Ответ: Исходное уравнение $6x^2 + 3,5 = 0$ является неприведённым. Приведённое уравнение: $x^2 + \frac{7}{12} = 0$.

г) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = -\frac{7}{13}$, коэффициент при $x$ равен $b = 4\frac{4}{7}$, свободный член равен $c = -4\frac{1}{3}$.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби: $b = 4\frac{4}{7} = \frac{32}{7}$ и $c = -4\frac{1}{3} = -\frac{13}{3}$.
Исходное уравнение: $-\frac{7}{13}x^2 + \frac{32}{7}x - \frac{13}{3} = 0$.
Так как $a = -\frac{7}{13} \neq 1$, это уравнение неприведённое. Разделим все его члены на $a = -\frac{7}{13}$:
$x^2 + (\frac{32}{7} \div (-\frac{7}{13}))x + (-\frac{13}{3} \div (-\frac{7}{13})) = 0$
$x^2 + (\frac{32}{7} \cdot (-\frac{13}{7}))x + (-\frac{13}{3} \cdot (-\frac{13}{7})) = 0$
$x^2 - \frac{416}{49}x + \frac{169}{21} = 0$
Ответ: Исходное уравнение $-\frac{7}{13}x^2 + \frac{32}{7}x - \frac{13}{3} = 0$ является неприведённым. Приведённое уравнение: $x^2 - \frac{416}{49}x + \frac{169}{21} = 0$.