Номер 27.6, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.6, страница 157.

Условие.

27.6 a) $4(4 - 3x)^2 - 2(4 - 3x) = 12 - x;$

б) $x^2 - 49 - 3(x + 7) = 2(x - 7)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $4(4 - 3x)^2 - 2(4 - 3x) = 12 - x$.

Для решения этого уравнения мы раскроем скобки и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Сначала раскроем квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(4 - 3x)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3x + (3x)^2 = 16 - 24x + 9x^2$.

2. Подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$4(16 - 24x + 9x^2) - 2(4 - 3x) = 12 - x$.

3. Теперь раскроем остальные скобки:

$64 - 96x + 36x^2 - 8 + 6x = 12 - x$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$36x^2 + (-96x + 6x) + (64 - 8) = 12 - x$.

$36x^2 - 90x + 56 = 12 - x$.

5. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$36x^2 - 90x + x + 56 - 12 = 0$.

$36x^2 - 89x + 44 = 0$.

6. Мы получили стандартное квадратное уравнение. Для его решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-89)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 44 = 7921 - 6336 = 1585$.

7. Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-89) \pm \sqrt{1585}}{2 \cdot 36} = \frac{89 \pm \sqrt{1585}}{72}$.

Ответ: $x_1 = \frac{89 - \sqrt{1585}}{72}$, $x_2 = \frac{89 + \sqrt{1585}}{72}$.

б)

Дано уравнение: $x^2 - 49 - 3(x + 7) = 2(x - 7)^2$.

Для решения этого уравнения мы также преобразуем его, раскрыв скобки и приведя подобные члены.

1. Воспользуемся формулами сокращенного умножения. Выражение $x^2 - 49$ — это разность квадратов, $(x-7)(x+7)$. Выражение $(x-7)^2$ — это квадрат разности, $x^2 - 14x + 49$.

Подставим их в уравнение:

$(x - 7)(x + 7) - 3(x + 7) = 2(x^2 - 14x + 49)$.

2. Раскроем все скобки. В левой части можно вынести общий множитель $(x+7)$, а в правой — умножить на 2:

$(x + 7)((x - 7) - 3) = 2x^2 - 28x + 98$.

$(x + 7)(x - 10) = 2x^2 - 28x + 98$.

Теперь раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 10x + 7x - 70 = 2x^2 - 28x + 98$.

$x^2 - 3x - 70 = 2x^2 - 28x + 98$.

3. Перенесем все члены в правую часть, чтобы собрать их в одно квадратное уравнение:

$0 = (2x^2 - x^2) + (-28x + 3x) + (98 + 70)$.

$0 = x^2 - 25x + 168$.

Получили уравнение: $x^2 - 25x + 168 = 0$.

4. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 625 - 672 = -47$.

5. Так как дискриминант $D = -47$, то есть $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.