Страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

27.6 a) $4(4 - 3x)^2 - 2(4 - 3x) = 12 - x;$

б) $x^2 - 49 - 3(x + 7) = 2(x - 7)^2.$

а)

Дано уравнение: $4(4 - 3x)^2 - 2(4 - 3x) = 12 - x$.

Для решения этого уравнения мы раскроем скобки и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Сначала раскроем квадрат разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(4 - 3x)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3x + (3x)^2 = 16 - 24x + 9x^2$.

2. Подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:

$4(16 - 24x + 9x^2) - 2(4 - 3x) = 12 - x$.

3. Теперь раскроем остальные скобки:

$64 - 96x + 36x^2 - 8 + 6x = 12 - x$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$36x^2 + (-96x + 6x) + (64 - 8) = 12 - x$.

$36x^2 - 90x + 56 = 12 - x$.

5. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$36x^2 - 90x + x + 56 - 12 = 0$.

$36x^2 - 89x + 44 = 0$.

6. Мы получили стандартное квадратное уравнение. Для его решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-89)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 44 = 7921 - 6336 = 1585$.

7. Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-89) \pm \sqrt{1585}}{2 \cdot 36} = \frac{89 \pm \sqrt{1585}}{72}$.

Ответ: $x_1 = \frac{89 - \sqrt{1585}}{72}$, $x_2 = \frac{89 + \sqrt{1585}}{72}$.

б)

Дано уравнение: $x^2 - 49 - 3(x + 7) = 2(x - 7)^2$.

Для решения этого уравнения мы также преобразуем его, раскрыв скобки и приведя подобные члены.

1. Воспользуемся формулами сокращенного умножения. Выражение $x^2 - 49$ — это разность квадратов, $(x-7)(x+7)$. Выражение $(x-7)^2$ — это квадрат разности, $x^2 - 14x + 49$.

Подставим их в уравнение:

$(x - 7)(x + 7) - 3(x + 7) = 2(x^2 - 14x + 49)$.

2. Раскроем все скобки. В левой части можно вынести общий множитель $(x+7)$, а в правой — умножить на 2:

$(x + 7)((x - 7) - 3) = 2x^2 - 28x + 98$.

$(x + 7)(x - 10) = 2x^2 - 28x + 98$.

Теперь раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 10x + 7x - 70 = 2x^2 - 28x + 98$.

$x^2 - 3x - 70 = 2x^2 - 28x + 98$.

3. Перенесем все члены в правую часть, чтобы собрать их в одно квадратное уравнение:

$0 = (2x^2 - x^2) + (-28x + 3x) + (98 + 70)$.

$0 = x^2 - 25x + 168$.

Получили уравнение: $x^2 - 25x + 168 = 0$.

4. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 168 = 625 - 672 = -47$.

5. Так как дискриминант $D = -47$, то есть $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

Составьте квадратное уравнение, у которого:

27.7 а) Старший коэффициент равен 8, коэффициент при $x$ равен 5, свободный член равен 1;

б) старший коэффициент равен –12, коэффициент при $x$ равен 3;

в) старший коэффициент равен 1, свободный член равен 4;

г) старший коэффициент равен 9, коэффициент при $x$ равен –2, свободный член равен 3.

Общий вид квадратного уравнения — это $ax^2 + bx + c = 0$. В этом уравнении $a$ — старший коэффициент (коэффициент при $x^2$), $b$ — коэффициент при $x$, а $c$ — свободный член. Чтобы составить требуемые уравнения, мы подставим заданные значения коэффициентов в эту общую формулу.

а) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = 8$, коэффициент при $x$ $b = 5$, свободный член $c = 1$.
Подставляя эти значения в общую формулу, получаем уравнение:
$8x^2 + 5x + 1 = 0$.
Ответ: $8x^2 + 5x + 1 = 0$.

б) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = -12$, коэффициент при $x$ $b = 3$.
Свободный член $c$ в условии не указан, что означает, что он равен нулю: $c = 0$.
Подставляем известные значения:
$-12x^2 + 3x + 0 = 0$, что упрощается до $-12x^2 + 3x = 0$.
Ответ: $-12x^2 + 3x = 0$.

в) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = 1$, свободный член $c = 4$.
Коэффициент при $x$, $b$, в условии не указан, что означает, что он равен нулю: $b = 0$.
Подставляем известные значения:
$1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 4 = 0$, что упрощается до $x^2 + 4 = 0$.
Ответ: $x^2 + 4 = 0$.

г) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = 9$, коэффициент при $x$ $b = -2$, свободный член $c = 3$.
Подставляя эти значения в общую формулу, получаем уравнение:
$9x^2 + (-2)x + 3 = 0$, что обычно записывается как $9x^2 - 2x + 3 = 0$.
Ответ: $9x^2 - 2x + 3 = 0$.

27.8 а) Старший коэффициент равен 1, коэффициент при $x$ равен $-1$;

б) старший коэффициент равен $\frac{2}{9}$, коэффициент при $x$ равен $-3\frac{1}{4}$, свободный член равен $1\frac{3}{5}$;

в) старший коэффициент равен 6, свободный член равен 3,5;

г) старший коэффициент равен $-\frac{7}{13}$, коэффициент при $x$ равен $4\frac{4}{7}$, свободный член равен $-4\frac{1}{3}$.

Какие из следующих квадратных уравнений являются приведёнными? Какое преобразование надо выполнить, чтобы неприведённое квадратное уравнение стало приведённым? Выполните это преобразование.

Квадратное уравнение в общем виде записывается как $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ – старший коэффициент, $b$ – коэффициент при $x$, и $c$ – свободный член.

Приведённым называется квадратное уравнение, у которого старший коэффициент $a$ равен 1.

Чтобы преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое, необходимо разделить обе части уравнения на его старший коэффициент $a$ (при условии, что $a \neq 0$).

а) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = 1$, коэффициент при $x$ равен $b = -1$. Свободный член $c$ не задан, поэтому принимаем $c = 0$.
Составляем уравнение: $1 \cdot x^2 + (-1) \cdot x + 0 = 0$, что равносильно $x^2 - x = 0$.
Поскольку старший коэффициент $a = 1$, данное уравнение является приведённым. Преобразование не требуется.
Ответ: Уравнение: $x^2 - x = 0$. Это приведённое квадратное уравнение.

б) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = \frac{2}{9}$, коэффициент при $x$ равен $b = -3\frac{1}{4}$, свободный член равен $c = 1\frac{3}{5}$.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби: $b = -3\frac{1}{4} = -\frac{13}{4}$ и $c = 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
Исходное уравнение: $\frac{2}{9}x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{8}{5} = 0$.
Так как $a = \frac{2}{9} \neq 1$, это уравнение неприведённое. Чтобы сделать его приведённым, разделим все его члены на $a = \frac{2}{9}$:
$x^2 + (-\frac{13}{4} \div \frac{2}{9})x + (\frac{8}{5} \div \frac{2}{9}) = 0$
$x^2 + (-\frac{13}{4} \cdot \frac{9}{2})x + (\frac{8}{5} \cdot \frac{9}{2}) = 0$
$x^2 - \frac{117}{8}x + \frac{36}{5} = 0$
Ответ: Исходное уравнение $\frac{2}{9}x^2 - \frac{13}{4}x + \frac{8}{5} = 0$ является неприведённым. Приведённое уравнение: $x^2 - \frac{117}{8}x + \frac{36}{5} = 0$.

в) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = 6$, свободный член $c = 3,5$. Коэффициент при $x$ не задан, поэтому $b = 0$.
Исходное уравнение: $6x^2 + 3,5 = 0$.
Так как $a = 6 \neq 1$, это уравнение неприведённое. Разделим все его члены на $a = 6$, чтобы получить приведённое уравнение:
$x^2 + \frac{3,5}{6} = 0$
Представим 3,5 как дробь $\frac{7}{2}$ для удобства вычислений:
$x^2 + \frac{7/2}{6} = 0$
$x^2 + \frac{7}{12} = 0$
Ответ: Исходное уравнение $6x^2 + 3,5 = 0$ является неприведённым. Приведённое уравнение: $x^2 + \frac{7}{12} = 0$.

г) Даны коэффициенты: старший коэффициент $a = -\frac{7}{13}$, коэффициент при $x$ равен $b = 4\frac{4}{7}$, свободный член равен $c = -4\frac{1}{3}$.
Переведём смешанные числа в неправильные дроби: $b = 4\frac{4}{7} = \frac{32}{7}$ и $c = -4\frac{1}{3} = -\frac{13}{3}$.
Исходное уравнение: $-\frac{7}{13}x^2 + \frac{32}{7}x - \frac{13}{3} = 0$.
Так как $a = -\frac{7}{13} \neq 1$, это уравнение неприведённое. Разделим все его члены на $a = -\frac{7}{13}$:
$x^2 + (\frac{32}{7} \div (-\frac{7}{13}))x + (-\frac{13}{3} \div (-\frac{7}{13})) = 0$
$x^2 + (\frac{32}{7} \cdot (-\frac{13}{7}))x + (-\frac{13}{3} \cdot (-\frac{13}{7})) = 0$
$x^2 - \frac{416}{49}x + \frac{169}{21} = 0$
Ответ: Исходное уравнение $-\frac{7}{13}x^2 + \frac{32}{7}x - \frac{13}{3} = 0$ является неприведённым. Приведённое уравнение: $x^2 - \frac{416}{49}x + \frac{169}{21} = 0$.

преобразование.

27.9 a) $x^2 - 4x + 35 = 0;$

б) $-15x^2 + 4x - 2 = 0;$

в) $12 - x^2 + 3x = 0;$

г) $18 - 9x + x^2 = 0.$

а) $x^2 - 4x + 35 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны: $a=1$, $b=-4$, $c=35$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 16 - 140 = -124$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

б) $-15x^2 + 4x - 2 = 0$
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:
$15x^2 - 4x + 2 = 0$
Коэффициенты данного уравнения: $a=15$, $b=-4$, $c=2$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 2 = 16 - 120 = -104$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.

в) $12 - x^2 + 3x = 0$
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, расположив члены по убыванию степеней $x$:
$-x^2 + 3x + 12 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$x^2 - 3x - 12 = 0$
Коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=-12$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 9 + 48 = 57$.
Так как дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2}$.
Ответ: $\frac{3 - \sqrt{57}}{2}; \frac{3 + \sqrt{57}}{2}$.

г) $18 - 9x + x^2 = 0$
Приведем уравнение к стандартному виду, расположив члены по убыванию степеней $x$:
$x^2 - 9x + 18 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-9$, $c=18$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-9) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Ответ: 3; 6.

27.10 a) $-x^2 + 31x - 6 = 0$;

б) $-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{14} = 0$;

в) $-2\frac{5}{8}x^2 - \frac{3}{4}x - 4\frac{1}{12} = 0$;

г) $x^2 - 7x + 16 = 0$.

а) $-x^2 + 31x - 6 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 31x + 6 = 0$

Коэффициенты данного уравнения: $a = 1$, $b = -31$, $c = 6$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 961 - 24 = 937$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Число 937 является простым, поэтому $\sqrt{937}$ не упрощается.

Корни уравнения находим по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-31) \pm \sqrt{937}}{2 \cdot 1} = \frac{31 \pm \sqrt{937}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{31 - \sqrt{937}}{2}, x_2 = \frac{31 + \sqrt{937}}{2}$.

б) $-\frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{14} = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения изолируем член с $x^2$:

$-\frac{1}{3}x^2 = -\frac{3}{14}$

Умножим обе части уравнения на $-3$:

$x^2 = \frac{3}{14} \cdot 3$

$x^2 = \frac{9}{14}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{14}} = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{14}} = \pm\frac{3}{\sqrt{14}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{14}$:

$x = \pm\frac{3\sqrt{14}}{14}$

Ответ: $x = \pm\frac{3\sqrt{14}}{14}$.

в) $-2\frac{5}{8}x^2 - \frac{3}{4}x - 4\frac{1}{12} = 0$

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{5}{8} = \frac{16+5}{8} = \frac{21}{8}$

$4\frac{1}{12} = \frac{48+1}{12} = \frac{49}{12}$

Уравнение примет вид:

$-\frac{21}{8}x^2 - \frac{3}{4}x - \frac{49}{12} = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (8, 4, 12), которое равно 24. Умножим на $-24$, чтобы старший коэффициент стал положительным:

$-24 \cdot (-\frac{21}{8}x^2) - 24 \cdot (-\frac{3}{4}x) - 24 \cdot (-\frac{49}{12}) = 0$

$(3 \cdot 21)x^2 + (6 \cdot 3)x + (2 \cdot 49) = 0$

$63x^2 + 18x + 98 = 0$

Теперь найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 18^2 - 4 \cdot 63 \cdot 98 = 324 - 24696 = -24372$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

г) $x^2 - 7x + 16 = 0$

Это полное квадратное уравнение с коэффициентами $a = 1$, $b = -7$, $c = 16$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

Какие из данных ниже квадратных уравнений являются полными? Решите неполное квадратное уравнение.

27.11 a) $x^2 + 14x - 23 = 0;$

б) $16x^2 - 9 = 0;$

в) $-x^2 + x = 0;$

г) $x + 8 - 9x^2 = 0.$

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$, и $c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Уравнение называется полным, если все его коэффициенты ($a$, $b$ и $c$) не равны нулю. Если хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю, то уравнение называется неполным.

а) $x^2 + 14x - 23 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 1$, $b = 14$, $c = -23$. Все коэффициенты отличны от нуля.
Ответ: это полное квадратное уравнение.

б) $16x^2 - 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, так как коэффициент $b = 0$.
Решим его:
$16x^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{16}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}$
$x_1 = \frac{3}{4}$, $x_2 = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $x_1 = \frac{3}{4}, x_2 = -\frac{3}{4}$.

в) $-x^2 + x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, так как свободный член $c = 0$.
Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(-x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $-x + 1 = 0$
Из второго уравнения находим $x = 1$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

г) $x + 8 - 9x^2 = 0$

Приведем уравнение к стандартному виду: $-9x^2 + x + 8 = 0$.
В данном уравнении коэффициенты: $a = -9$, $b = 1$, $c = 8$. Все коэффициенты отличны от нуля.
Ответ: это полное квадратное уравнение.

27.12 а) $3x^2 - 12x = 0;$

б) $x^2 + 2x = 0;$

в) $-2x^2 + 14 = 0;$

г) $3 - x^2 + x = 0.$

а) $3x^2 - 12x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$3x = 0$ или $x - 4 = 0$

Решаем каждое из этих простых уравнений:

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 4$.

Ответ: $0; 4$

б) $x^2 + 2x = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 2 = 0$

Находим корни уравнения:

$x_1 = 0$

$x_2 = -2$

Ответ: $-2; 0$

в) $-2x^2 + 14 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$-2x^2 = -14$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $-2$:

$x^2 = \frac{-14}{-2}$

$x^2 = 7$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{7}$

Таким образом, у уравнения два корня:

$x_1 = -\sqrt{7}$ и $x_2 = \sqrt{7}$

Ответ: $-\sqrt{7}; \sqrt{7}$

г) $3 - x^2 + x = 0$

Это полное квадратное уравнение. Для начала приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, расположив члены по убыванию степеней $x$:

$-x^2 + x + 3 = 0$

Чтобы сделать вычисления удобнее, умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - x - 3 = 0$

Теперь решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения через дискриминант. Здесь коэффициенты $a=1, b=-1, c=-3$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$