Страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

27.23 а) $4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7;$

б) $(2x + 3)(3x + 1) = 11x + 30;$

в) $1 - 2x + 3x^2 = x^2 - 2x + 1;$

г) $(5x - 2)(x + 3) = 13(x - 2).$

а) $4x^2 - 3x + 7 = 2x^2 + x + 7$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$.

$4x^2 - 3x + 7 - 2x^2 - x - 7 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 2x^2) + (-3x - x) + (7 - 7) = 0$

$2x^2 - 4x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$2x = 0$ или $x - 2 = 0$

Решая каждое из этих уравнений, находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

б) $(2x + 3)(3x + 1) = 11x + 30$

Раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив многочлены:

$2x \cdot 3x + 2x \cdot 1 + 3 \cdot 3x + 3 \cdot 1 = 11x + 30$

$6x^2 + 2x + 9x + 3 = 11x + 30$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$6x^2 + 11x + 3 = 11x + 30$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$6x^2 + 11x + 3 - 11x - 30 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$6x^2 - 27 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$6x^2 = 27$

Разделим обе части на 6:

$x^2 = \frac{27}{6}$

Сократим дробь:

$x^2 = \frac{9}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{2}} = \pm\frac{3}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $-\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

в) $1 - 2x + 3x^2 = x^2 - 2x + 1$

Перенесем все члены уравнения из правой части в левую:

$3x^2 - x^2 - 2x + 2x + 1 - 1 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - x^2) + (-2x + 2x) + (1 - 1) = 0$

$2x^2 = 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 = 0$

Отсюда следует, что уравнение имеет один корень:

$x = 0$

Ответ: $0$.

г) $(5x - 2)(x + 3) = 13(x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x \cdot x + 5x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = 13 \cdot x - 13 \cdot 2$

$5x^2 + 15x - 2x - 6 = 13x - 26$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x^2 + 13x - 6 = 13x - 26$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$5x^2 + 13x - 6 - 13x + 26 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + (13x - 13x) + (-6 + 26) = 0$

$5x^2 + 20 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$5x^2 = -20$

Разделим обе части на 5:

$x^2 = -4$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

27.24 a) $ \frac{x^2 - 6x}{3} = x; $

б) $ \frac{x^2 - x}{2} + \frac{x}{3} = 0; $

в) $ \frac{x^2 - x}{6} - \frac{x^2 + x}{3} = 0; $

г) $ \frac{x^2 - 4}{5} - \frac{x^2 - 1}{3} = -1. $

а) Дано уравнение $\frac{x^2 - 6x}{3} = x$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3:
$x^2 - 6x = 3x$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 - 6x - 3x = 0$
$x^2 - 9x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$x = 0$ или $x - 9 = 0$
Решая второе уравнение, получаем $x = 9$.
Таким образом, у уравнения два корня.
Ответ: 0; 9.

б) Дано уравнение $\frac{x^2 - x}{2} + \frac{x}{3} = 0$.
Найдем общий знаменатель дробей, который равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$6 \cdot \frac{x^2 - x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 0$
$3(x^2 - x) + 2x = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 3x + 2x = 0$
$3x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 1) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $3x - 1 = 0$
Решая второе уравнение, получаем $3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: 0; $\frac{1}{3}$.

в) Дано уравнение $\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x^2 + x}{3} = 0$.
Общий знаменатель дробей равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$6 \cdot \frac{x^2 - x}{6} - 6 \cdot \frac{x^2 + x}{3} = 6 \cdot 0$
$(x^2 - x) - 2(x^2 + x) = 0$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:
$x^2 - x - 2x^2 - 2x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 3x = 0$
Для удобства умножим обе части на -1:
$x^2 + 3x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 3) = 0$
Получаем два решения:
$x = 0$ или $x + 3 = 0$
Из второго уравнения находим $x = -3$.
Корни уравнения.
Ответ: -3; 0.

г) Дано уравнение $\frac{x^2 - 4}{5} - \frac{x^2 - 1}{3} = -1$.
Общий знаменатель дробей равен 15. Умножим обе части уравнения на 15:
$15 \cdot \frac{x^2 - 4}{5} - 15 \cdot \frac{x^2 - 1}{3} = 15 \cdot (-1)$
$3(x^2 - 4) - 5(x^2 - 1) = -15$
Раскроем скобки:
$3x^2 - 12 - 5x^2 + 5 = -15$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-2x^2 - 7 = -15$
Перенесем свободный член (-7) в правую часть:
$-2x^2 = -15 + 7$
$-2x^2 = -8$
Разделим обе части на -2:
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{4}$
Получаем два корня.
Ответ: -2; 2.

27.25 Произведение двух последовательных натуральных чисел в 2 раза больше меньшего из них. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Поскольку числа натуральные, $n$ должно быть целым положительным числом ($n \ge 1$).

Тогда следующее за ним натуральное число будет $n + 1$.

Произведение этих двух чисел равно $n(n + 1)$.

По условию задачи, это произведение в 2 раза больше меньшего из чисел, то есть $n$. Составим уравнение:

$n(n + 1) = 2n$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $n$.

$n^2 + n = 2n$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$n^2 + n - 2n = 0$

$n^2 - n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n(n - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$n_1 = 0$

$n_2 - 1 = 0 \implies n_2 = 1$

По условию, мы ищем натуральные числа, а 0 не является натуральным числом. Следовательно, корень $n_1 = 0$ не подходит.

Подходит корень $n = 1$. Это меньшее из двух чисел.

Второе число равно $n + 1 = 1 + 1 = 2$.

Таким образом, искомые числа — это 1 и 2.

Проверка: произведение чисел $1 \times 2 = 2$. Меньшее число — 1. Произведение 2 в два раза больше, чем 1 ($2 = 2 \times 1$). Условие выполняется.

Ответ: 1 и 2.

27.26 Произведение двух последовательных натуральных чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Поскольку числа последовательные, следующее за ним число будет $n + 1$. По условию, искомые числа являются натуральными, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Произведение этих двух чисел равно $n \cdot (n + 1)$. Квадрат меньшего из них равен $n^2$.

Согласно условию задачи, произведение чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Это можно записать в виде уравнения: $n(n + 1) = 1.5 \cdot n^2$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части: $n^2 + n = 1.5n^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $1.5n^2 - n^2 - n = 0$

Приведем подобные члены: $0.5n^2 - n = 0$

Вынесем общий множитель $n$ за скобки: $n(0.5n - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $n$:

1) $n = 0$

2) $0.5n - 1 = 0 \implies 0.5n = 1 \implies n = \frac{1}{0.5} \implies n = 2$

По условию задачи мы ищем натуральные числа. Число 0 не является натуральным, поэтому корень $n=0$ не удовлетворяет условию задачи.

Корень $n=2$ является натуральным числом. Это меньшее из искомых чисел.

Тогда второе, большее число, равно $n + 1 = 2 + 1 = 3$.

Искомые числа — 2 и 3.

Выполним проверку. Произведение чисел: $2 \cdot 3 = 6$. Квадрат меньшего числа: $2^2 = 4$. Проверим, действительно ли произведение в 1,5 раза больше квадрата меньшего числа: $4 \cdot 1.5 = 6$. Равенство $6=6$ верно.

Ответ: 2 и 3.

27.27 От вершины прямого угла по его сторонам одновременно начинают двигаться две материальные точки, скорости которых равны 5 см/с и 12 см/с. Через какое время расстояние между ними будет равно 52 см?

Пусть $t$ — искомое время в секундах. Две материальные точки начинают движение одновременно из вершины прямого угла по его сторонам.

За время $t$ первая точка, скорость которой $v_1 = 5$ см/с, пройдет расстояние $s_1$. Это расстояние будет одним из катетов прямоугольного треугольника, который образуется положениями точек и вершиной угла.
$s_1 = v_1 \cdot t = 5t$ (см).

За то же время $t$ вторая точка, скорость которой $v_2 = 12$ см/с, пройдет расстояние $s_2$. Это расстояние будет вторым катетом того же треугольника.
$s_2 = v_2 \cdot t = 12t$ (см).

Расстояние между точками, обозначим его $d$, является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$d^2 = s_1^2 + s_2^2$

По условию задачи, нам нужно найти время $t$, когда расстояние между точками будет равно $d = 52$ см. Подставим все известные значения в уравнение:
$52^2 = (5t)^2 + (12t)^2$

Решим полученное уравнение:
$2704 = 25t^2 + 144t^2$
$2704 = (25 + 144)t^2$
$2704 = 169t^2$

Теперь выразим $t^2$:
$t^2 = \frac{2704}{169}$
$t^2 = 16$

Чтобы найти $t$, извлечем квадратный корень. Поскольку время не может быть отрицательным, мы рассматриваем только положительное решение:
$t = \sqrt{16} = 4$

Ответ: через 4 с.

27.28 Если от квадрата отрезать треугольник площадью $59\text{ cm}^2$, то площадь оставшейся части будет равна $85\text{ cm}^2$. Найдите сторону квадрата.

Для того чтобы найти сторону квадрата, сначала необходимо определить его первоначальную площадь. Площадь квадрата состоит из площади отрезанного от него треугольника и площади оставшейся части.

Пусть $S_{квадрата}$ – это первоначальная площадь квадрата, $S_{треугольника}$ – площадь отрезанного треугольника, а $S_{остатка}$ – площадь оставшейся части.

По условию задачи нам дано:

$S_{треугольника} = 59 \text{ см}^2$

$S_{остатка} = 85 \text{ см}^2$

Найдем общую площадь квадрата, сложив площади его частей:

$S_{квадрата} = S_{треугольника} + S_{остатка} = 59 + 85 = 144 \text{ см}^2$

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны. Чтобы найти сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень из его площади:

$a = \sqrt{S_{квадрата}}$

$a = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$

Ответ: 12 см.

27.29 Площадь квадрата больше площади круга на 12 $ \text{см}^2 $. Найдите сторону квадрата, если площадь круга равна 36 $ \text{см}^2 $.

Обозначим площадь квадрата как $S_{кв}$, а площадь круга как $S_{кр}$.

По условию задачи дано, что площадь квадрата больше площади круга на 12 см², а площадь круга равна 36 см². Запишем эти условия в виде математических выражений:
1) $S_{кр} = 36 \text{ см}^2$
2) $S_{кв} = S_{кр} + 12$

Для начала найдем площадь квадрата, подставив известное значение площади круга во второе выражение:
$S_{кв} = 36 + 12 = 48 \text{ см}^2$

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$, где $a$ – это длина его стороны. Чтобы найти сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень из его площади:
$a = \sqrt{S_{кв}}$
$a = \sqrt{48}$

Упростим полученное иррациональное число, разложив подкоренное выражение на множители:
$a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$

Ответ: сторона квадрата равна $4\sqrt{3}$ см.

27.30 Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошёл 36 км по течению и 24 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Чему равна скорость течения?

Обозначим искомую скорость течения реки через $x$ км/ч.

Собственная скорость катера известна и составляет $15$ км/ч. Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения, а когда против течения — вычитается.
Скорость катера по течению: $v_{\text{по теч.}} = 15 + x$ км/ч.
Скорость катера против течения: $v_{\text{против теч.}} = 15 - x$ км/ч.

Время, затраченное на каждый участок пути, находится по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время движения по течению на расстояние $36$ км: $t_1 = \frac{36}{15 + x}$ ч.
Время движения против течения на расстояние $24$ км: $t_2 = \frac{24}{15 - x}$ ч.

Суммарное время, затраченное на весь путь, равно $4$ часа. Это позволяет нам составить уравнение:
$t_1 + t_2 = 4$
$\frac{36}{15 + x} + \frac{24}{15 - x} = 4$

Для решения уравнения приведём дроби к общему знаменателю $(15 + x)(15 - x)$. Учтём, что скорость течения должна быть положительной и меньше собственной скорости катера, чтобы движение против течения было возможным, то есть $0 < x < 15$.
$36(15 - x) + 24(15 + x) = 4(15 + x)(15 - x)$
Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:
$540 - 36x + 360 + 24x = 4(225 - x^2)$
Приведём подобные слагаемые:
$900 - 12x = 900 - 4x^2$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 - 12x = 900 - 900$
$4x^2 - 12x = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $4x$ за скобку:
$4x(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:
$x_1 = 0$ или $x_2 = 3$.

Корень $x = 0$ означает отсутствие течения, что противоречит условию задачи, где говорится о движении "по течению" и "против течения". Корень $x = 3$ удовлетворяет физическому смыслу задачи и ограничению $0 < x < 15$.
Проверим решение:
Время по течению: $\frac{36}{15+3} = \frac{36}{18} = 2$ часа.
Время против течения: $\frac{24}{15-3} = \frac{24}{12} = 2$ часа.
Общее время: $2 + 2 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость течения равна 3 км/ч.

27.31 При каких значениях параметра $p$ заданное уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при найденных значениях параметра.

а) $6x^2 + (p - 1)x + 2 - 4p = 0;$

б) $(p - 2)x^2 + 3x + p = 0;$

в) $3x^2 - (2p + 3)x + 2 + p = 0;$

г) $(6 - p)x^2 + (2p + 6) (x + 12) = 0.$

а) Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ является неполным, если коэффициент при первой степени $b=0$ или свободный член $c=0$ (при обязательном условии $a \neq 0$). Для уравнения $6x^2 + (p - 1)x + 2 - 4p = 0$ имеем коэффициенты $a=6$, $b=p-1$, $c=2-4p$. Так как $a=6 \neq 0$, это всегда квадратное уравнение. Оно будет неполным в двух случаях.

1. Если $b = p - 1 = 0$, откуда $p=1$. Уравнение становится $6x^2 + 2 - 4(1) = 0$, то есть $6x^2 - 2 = 0$. Решаем его: $6x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Если $c = 2 - 4p = 0$, откуда $4p=2$, $p=\frac{1}{2}$. Уравнение становится $6x^2 + (\frac{1}{2}-1)x = 0$, то есть $6x^2 - \frac{1}{2}x = 0$. Решаем его: $x(6x - \frac{1}{2}) = 0$, откуда $x_1 = 0$ или $6x - \frac{1}{2} = 0 \implies x_2 = \frac{1}{12}$.

Ответ: уравнение является неполным при $p=1$ и $p=\frac{1}{2}$. При $p=1$ корни $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$; при $p=\frac{1}{2}$ корни $x_1=0, x_2=\frac{1}{12}$.

б) В уравнении $(p - 2)x^2 + 3x + p = 0$ коэффициенты $a = p - 2$, $b = 3$, $c = p$. Условие того, что уравнение является квадратным: $a \neq 0$, то есть $p - 2 \neq 0 \implies p \neq 2$. Условие неполноты: $b=0$ или $c=0$. Так как $b=3 \neq 0$, то для неполноты необходимо, чтобы $c=0$. Приравниваем $c=p$ к нулю: $p=0$. Это значение удовлетворяет условию $p \neq 2$. Подставляем $p=0$ в исходное уравнение: $(0-2)x^2 + 3x + 0 = 0$, то есть $-2x^2 + 3x = 0$. Решаем его: $x(-2x+3)=0$, откуда $x_1=0$ или $-2x+3=0 \implies x_2 = \frac{3}{2}$.

Ответ: уравнение является неполным при $p=0$. Корни уравнения: $x_1=0, x_2=\frac{3}{2}$.

в) В уравнении $3x^2 - (2p + 3)x + 2 + p = 0$ коэффициенты $a=3$, $b=-(2p+3)$, $c=2+p$. Так как $a=3 \neq 0$, это всегда квадратное уравнение. Оно будет неполным в двух случаях.

1. Если $b = -(2p + 3) = 0$, откуда $2p = -3$, $p = -\frac{3}{2}$. Уравнение становится $3x^2 + (2 + (-\frac{3}{2})) = 0$, то есть $3x^2 + \frac{1}{2} = 0$. Решаем: $3x^2 = -\frac{1}{2} \implies x^2 = -\frac{1}{6}$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

2. Если $c = 2 + p = 0$, откуда $p = -2$. Уравнение становится $3x^2 - (2(-2)+3)x = 0$, то есть $3x^2 - (-1)x = 0 \implies 3x^2 + x = 0$. Решаем: $x(3x+1)=0$, откуда $x_1=0$ или $3x+1=0 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$.

Ответ: уравнение является неполным при $p = -\frac{3}{2}$ и $p = -2$. При $p = -\frac{3}{2}$ действительных корней нет; при $p = -2$ корни $x_1=0, x_2=-\frac{1}{3}$.

г) Сначала преобразуем уравнение $(6 - p)x^2 + (2p + 6)(x + 12) = 0$ к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$. Раскроем скобки: $(6 - p)x^2 + (2p + 6)x + 12(2p + 6) = 0 \implies (6 - p)x^2 + (2p + 6)x + (24p + 72) = 0$. Коэффициенты: $a = 6 - p$, $b = 2p + 6$, $c = 24p + 72$. Условие того, что уравнение является квадратным: $a \neq 0$, то есть $6-p \neq 0 \implies p \neq 6$. Условие неполноты: $b=0$ или $c=0$.

1. Если $b = 2p + 6 = 0$, откуда $2p=-6$, $p=-3$. Это значение удовлетворяет условию $p \neq 6$.

2. Если $c = 24p + 72 = 0$, откуда $24p=-72$, $p=-3$.

Оба условия приводят к одному и тому же значению $p=-3$. При $p=-3$ оба коэффициента $b$ и $c$ равны нулю. Подставим $p=-3$ в уравнение: $(6-(-3))x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$, то есть $9x^2 = 0$. Решаем: $x^2=0 \implies x=0$.

Ответ: уравнение является неполным при $p=-3$. Корень уравнения: $x=0$.