Номер 27.24, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.24, страница 159.

Условие.

27.24 a) $ \frac{x^2 - 6x}{3} = x; $

б) $ \frac{x^2 - x}{2} + \frac{x}{3} = 0; $

в) $ \frac{x^2 - x}{6} - \frac{x^2 + x}{3} = 0; $

г) $ \frac{x^2 - 4}{5} - \frac{x^2 - 1}{3} = -1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано уравнение $\frac{x^2 - 6x}{3} = x$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3:
$x^2 - 6x = 3x$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 - 6x - 3x = 0$
$x^2 - 9x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$x = 0$ или $x - 9 = 0$
Решая второе уравнение, получаем $x = 9$.
Таким образом, у уравнения два корня.
Ответ: 0; 9.

б) Дано уравнение $\frac{x^2 - x}{2} + \frac{x}{3} = 0$.
Найдем общий знаменатель дробей, который равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$6 \cdot \frac{x^2 - x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 0$
$3(x^2 - x) + 2x = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 3x + 2x = 0$
$3x^2 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 1) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $3x - 1 = 0$
Решая второе уравнение, получаем $3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: 0; $\frac{1}{3}$.

в) Дано уравнение $\frac{x^2 - x}{6} - \frac{x^2 + x}{3} = 0$.
Общий знаменатель дробей равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$6 \cdot \frac{x^2 - x}{6} - 6 \cdot \frac{x^2 + x}{3} = 6 \cdot 0$
$(x^2 - x) - 2(x^2 + x) = 0$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:
$x^2 - x - 2x^2 - 2x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 3x = 0$
Для удобства умножим обе части на -1:
$x^2 + 3x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 3) = 0$
Получаем два решения:
$x = 0$ или $x + 3 = 0$
Из второго уравнения находим $x = -3$.
Корни уравнения.
Ответ: -3; 0.

г) Дано уравнение $\frac{x^2 - 4}{5} - \frac{x^2 - 1}{3} = -1$.
Общий знаменатель дробей равен 15. Умножим обе части уравнения на 15:
$15 \cdot \frac{x^2 - 4}{5} - 15 \cdot \frac{x^2 - 1}{3} = 15 \cdot (-1)$
$3(x^2 - 4) - 5(x^2 - 1) = -15$
Раскроем скобки:
$3x^2 - 12 - 5x^2 + 5 = -15$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-2x^2 - 7 = -15$
Перенесем свободный член (-7) в правую часть:
$-2x^2 = -15 + 7$
$-2x^2 = -8$
Разделим обе части на -2:
$x^2 = 4$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{4}$
Получаем два корня.
Ответ: -2; 2.