Номер 27.31, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 27. Основные понятия. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 27.31, страница 159.

Условие.

27.31 При каких значениях параметра $p$ заданное уравнение является неполным квадратным уравнением? Решите уравнение при найденных значениях параметра.

а) $6x^2 + (p - 1)x + 2 - 4p = 0;$

б) $(p - 2)x^2 + 3x + p = 0;$

в) $3x^2 - (2p + 3)x + 2 + p = 0;$

г) $(6 - p)x^2 + (2p + 6) (x + 12) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ является неполным, если коэффициент при первой степени $b=0$ или свободный член $c=0$ (при обязательном условии $a \neq 0$). Для уравнения $6x^2 + (p - 1)x + 2 - 4p = 0$ имеем коэффициенты $a=6$, $b=p-1$, $c=2-4p$. Так как $a=6 \neq 0$, это всегда квадратное уравнение. Оно будет неполным в двух случаях.

1. Если $b = p - 1 = 0$, откуда $p=1$. Уравнение становится $6x^2 + 2 - 4(1) = 0$, то есть $6x^2 - 2 = 0$. Решаем его: $6x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. Если $c = 2 - 4p = 0$, откуда $4p=2$, $p=\frac{1}{2}$. Уравнение становится $6x^2 + (\frac{1}{2}-1)x = 0$, то есть $6x^2 - \frac{1}{2}x = 0$. Решаем его: $x(6x - \frac{1}{2}) = 0$, откуда $x_1 = 0$ или $6x - \frac{1}{2} = 0 \implies x_2 = \frac{1}{12}$.

Ответ: уравнение является неполным при $p=1$ и $p=\frac{1}{2}$. При $p=1$ корни $x = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$; при $p=\frac{1}{2}$ корни $x_1=0, x_2=\frac{1}{12}$.

б) В уравнении $(p - 2)x^2 + 3x + p = 0$ коэффициенты $a = p - 2$, $b = 3$, $c = p$. Условие того, что уравнение является квадратным: $a \neq 0$, то есть $p - 2 \neq 0 \implies p \neq 2$. Условие неполноты: $b=0$ или $c=0$. Так как $b=3 \neq 0$, то для неполноты необходимо, чтобы $c=0$. Приравниваем $c=p$ к нулю: $p=0$. Это значение удовлетворяет условию $p \neq 2$. Подставляем $p=0$ в исходное уравнение: $(0-2)x^2 + 3x + 0 = 0$, то есть $-2x^2 + 3x = 0$. Решаем его: $x(-2x+3)=0$, откуда $x_1=0$ или $-2x+3=0 \implies x_2 = \frac{3}{2}$.

Ответ: уравнение является неполным при $p=0$. Корни уравнения: $x_1=0, x_2=\frac{3}{2}$.

в) В уравнении $3x^2 - (2p + 3)x + 2 + p = 0$ коэффициенты $a=3$, $b=-(2p+3)$, $c=2+p$. Так как $a=3 \neq 0$, это всегда квадратное уравнение. Оно будет неполным в двух случаях.

1. Если $b = -(2p + 3) = 0$, откуда $2p = -3$, $p = -\frac{3}{2}$. Уравнение становится $3x^2 + (2 + (-\frac{3}{2})) = 0$, то есть $3x^2 + \frac{1}{2} = 0$. Решаем: $3x^2 = -\frac{1}{2} \implies x^2 = -\frac{1}{6}$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, в этом случае уравнение не имеет действительных корней.

2. Если $c = 2 + p = 0$, откуда $p = -2$. Уравнение становится $3x^2 - (2(-2)+3)x = 0$, то есть $3x^2 - (-1)x = 0 \implies 3x^2 + x = 0$. Решаем: $x(3x+1)=0$, откуда $x_1=0$ или $3x+1=0 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$.

Ответ: уравнение является неполным при $p = -\frac{3}{2}$ и $p = -2$. При $p = -\frac{3}{2}$ действительных корней нет; при $p = -2$ корни $x_1=0, x_2=-\frac{1}{3}$.

г) Сначала преобразуем уравнение $(6 - p)x^2 + (2p + 6)(x + 12) = 0$ к стандартному виду $ax^2+bx+c=0$. Раскроем скобки: $(6 - p)x^2 + (2p + 6)x + 12(2p + 6) = 0 \implies (6 - p)x^2 + (2p + 6)x + (24p + 72) = 0$. Коэффициенты: $a = 6 - p$, $b = 2p + 6$, $c = 24p + 72$. Условие того, что уравнение является квадратным: $a \neq 0$, то есть $6-p \neq 0 \implies p \neq 6$. Условие неполноты: $b=0$ или $c=0$.

1. Если $b = 2p + 6 = 0$, откуда $2p=-6$, $p=-3$. Это значение удовлетворяет условию $p \neq 6$.

2. Если $c = 24p + 72 = 0$, откуда $24p=-72$, $p=-3$.

Оба условия приводят к одному и тому же значению $p=-3$. При $p=-3$ оба коэффициента $b$ и $c$ равны нулю. Подставим $p=-3$ в уравнение: $(6-(-3))x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$, то есть $9x^2 = 0$. Решаем: $x^2=0 \implies x=0$.

Ответ: уравнение является неполным при $p=-3$. Корень уравнения: $x=0$.