Страница 163, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

28.20 При каких значениях параметра p имеет один корень уравнение:

а) $x^2 - px + 9 = 0;$

б) $x^2 + 3px + p = 0;$

в) $x^2 + px + 16 = 0;$

г) $x^2 - 2px + 3p = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ имеет один корень (или два совпадающих корня) в том случае, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

а) $x^2 - px + 9 = 0$

В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -p$, $c = 9$.

Составим уравнение для дискриминанта и приравняем его к нулю:

$D = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0$

$p^2 - 36 = 0$

$p^2 = 36$

Отсюда находим значения $p$:

$p_1 = 6$, $p_2 = -6$.

Ответ: $p = -6$ или $p = 6$.

б) $x^2 + 3px + p = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = 3p$, $c = p$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$D = (3p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot p = 0$

$9p^2 - 4p = 0$

Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$p(9p - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$p_1 = 0$ или $9p - 4 = 0$, что дает $p_2 = \frac{4}{9}$.

Ответ: $p = 0$ или $p = \frac{4}{9}$.

в) $x^2 + px + 16 = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = p$, $c = 16$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$D = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 0$

$p^2 - 64 = 0$

$p^2 = 64$

Находим значения $p$:

$p_1 = 8$, $p_2 = -8$.

Ответ: $p = -8$ или $p = 8$.

г) $x^2 - 2px + 3p = 0$

Коэффициенты данного квадратного уравнения: $a = 1$, $b = -2p$, $c = 3p$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3p) = 0$

$4p^2 - 12p = 0$

Вынесем общий множитель $4p$ за скобки:

$4p(p - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$4p = 0$, что дает $p_1 = 0$, или $p - 3 = 0$, что дает $p_2 = 3$.

Ответ: $p = 0$ или $p = 3$.

28.21 Докажите, что при любом значении параметра $p$ уравнение $3x^2 - px - 2 = 0$ имеет два корня.

Для того чтобы доказать, что уравнение $3x^2 - px - 2 = 0$ имеет два корня при любом значении параметра $p$, необходимо показать, что его дискриминант ($D$) всегда строго положителен ($D > 0$).

Данное уравнение является квадратным уравнением общего вида $ax^2 + bx + c = 0$. Определим его коэффициенты:
$a = 3$
$b = -p$
$c = -2$

Теперь вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-p)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)$
$D = p^2 + 24$

Проанализируем знак полученного выражения для дискриминанта $D = p^2 + 24$.
Выражение $p^2$, как квадрат любого действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $p^2 \ge 0$ для любого значения $p$.
Следовательно, сумма $p^2 + 24$ всегда будет строго положительной, так как к неотрицательному числу ($p^2$) прибавляется положительное число (24). Минимальное значение, которое может принять дискриминант, достигается при $p = 0$ и равно $D_{min} = 0^2 + 24 = 24$.
Поскольку $D \ge 24$, очевидно, что $D > 0$ при любом значении параметра $p$.

Так как дискриминант уравнения всегда положителен, уравнение $3x^2 - px - 2 = 0$ всегда имеет два различных действительных корня, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как дискриминант уравнения $D=p^2+24$ всегда положителен.

28.22 Найдите натуральное число, квадрат которого на 56 больше самого числа.

Пусть искомое натуральное число — это $x$. По условию задачи, квадрат этого числа ($x^2$) на 56 больше самого числа ($x$). Составим уравнение на основе этого условия:
$x^2 = x + 56$

Для решения перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - x - 56 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=-56$.
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Уравнение имеет два корня: 8 и -7. По условию задачи требуется найти натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Из двух полученных корней только 8 является натуральным числом, так как -7 — отрицательное целое число.

Проверим найденное значение. Квадрат числа 8 равен $8^2 = 64$. Само число равно 8. Разница составляет $64 - 8 = 56$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 8

28.23 Одна сторона прямоугольника на 5 см больше другой, а его площадь равна 84 $ \text{см}^2 $. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию задачи, другая сторона на 5 см больше, следовательно, ее длина составляет $(x + 5)$ см.

Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его смежных сторон ($a$ и $b$): $S = a \cdot b$.

По условию, площадь прямоугольника равна 84 см². Составим уравнение, подставив выражения для сторон и значение площади:

$x \cdot (x + 5) = 84$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 5x = 84$

$x^2 + 5x - 84 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант ($D$):

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Поскольку длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной величиной, корень $x_1 = -12$ не является решением задачи.

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 7 см.

Найдем вторую сторону:

$x + 5 = 7 + 5 = 12$ см.

Проверим, соответствует ли найденное решение условию задачи. Площадь: $7 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 84 \text{ см}^2$. Условие выполняется.

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и 12 см.

28.24 Представьте число 120 в виде произведения двух чисел, одно из которых на 2 меньше другого.

Пусть одно из искомых чисел равно $x$. Поскольку второе число на 2 меньше другого, оно будет равно $(x-2)$.

По условию задачи, произведение этих чисел равно 120. Составим и решим уравнение:

$x \cdot (x-2) = 120$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 2x = 120$

$x^2 - 2x - 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-2$, $c=-120$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 22}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 22}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Мы нашли два возможных значения для одного из чисел. Теперь найдем соответствующие значения для второго числа для каждого случая.

1. Если первое число равно $12$, то второе число равно $12 - 2 = 10$. Проверяем произведение: $12 \cdot 10 = 120$.

2. Если первое число равно $-10$, то второе число равно $-10 - 2 = -12$. Проверяем произведение: $(-10) \cdot (-12) = 120$.

Оба варианта удовлетворяют условию задачи. Таким образом, число 120 можно представить в виде произведения двумя способами.

Ответ: $120 = 12 \cdot 10$ или $120 = (-10) \cdot (-12)$.

28.25 Площадь прямоугольного треугольника равна 180 м$^2$. Найдите катеты этого треугольника, если один больше другого на 31 м.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины его катетов.

Пусть длина одного катета равна $x$ м. По условию задачи, другой катет на 31 м длиннее, следовательно, его длина составляет $(x + 31)$ м.

Площадь треугольника равна 180 м². Составим уравнение, подставив известные значения в формулу площади: $180 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 31)$

Для решения данного уравнения умножим обе его части на 2: $360 = x(x + 31)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $360 = x^2 + 31x$ $x^2 + 31x - 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401$

Теперь найдем корни уравнения по формулам $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-31 + \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9$ $x_2 = \frac{-31 - \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Поскольку длина катета треугольника является положительной величиной, корень $x_2 = -40$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, длина одного катета равна $x = 9$ м.

Тогда длина второго катета будет равна $x + 31 = 9 + 31 = 40$ м.

Проверим найденное решение: площадь треугольника с катетами 9 м и 40 м равна $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 180$ м², что соответствует условию задачи.

Ответ: катеты треугольника равны 9 м и 40 м.

28.26 От квадратного листа картона отрезали полоску шириной 3 см. Площадь оставшейся части равна 70 $см^2$. Найдите первоначальные размеры листа картона.

Пусть сторона первоначального квадратного листа картона равна $x$ см.

Когда от квадратного листа отрезали полоску шириной 3 см, одна из его сторон осталась равной $x$ см, а другая стала равной $(x - 3)$ см. В результате получился прямоугольник.

Площадь этого прямоугольника (оставшейся части) равна произведению его сторон: $S = x \cdot (x - 3)$.

По условию задачи, площадь оставшейся части равна 70 см². Составим и решим уравнение:

$x(x - 3) = 70$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 3x - 70 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Поскольку $x$ обозначает длину стороны квадрата, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -7$ не является решением задачи.

Таким образом, первоначальная сторона квадратного листа картона была равна 10 см.

Ответ: первоначальные размеры листа картона 10 см × 10 см.

28.27 Произведение двух последовательных натуральных чисел на 271 больше их суммы. Найдите эти числа.

Пусть первое из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число равно $n + 1$. По условию, $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Их произведение равно $n(n + 1)$, а их сумма равна $n + (n + 1) = 2n + 1$.

Согласно условию, произведение этих чисел на 271 больше их суммы. Это можно выразить следующим уравнением:

$n(n + 1) = (2n + 1) + 271$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$n^2 + n = 2n + 272$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$:

$n^2 + n - 2n - 272 = 0$

$n^2 - n - 272 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 33}{2}$

Уравнение имеет два корня:

$n_1 = \frac{1 + 33}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$n_2 = \frac{1 - 33}{2} = \frac{-32}{2} = -16$

Поскольку в задаче речь идет о натуральных числах, корень $n_2 = -16$ не является решением. Таким образом, первое число равно 17.

Второе последовательное число равно $n + 1 = 17 + 1 = 18$.

Проверим результат: произведение чисел $17 \cdot 18 = 306$; сумма чисел $17 + 18 = 35$. Разность между произведением и суммой $306 - 35 = 271$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 17 и 18.

28.28 Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел равна 1201. Чему равна разность квадратов этих чисел?

Пусть два последовательных натуральных числа — это $n$ и $n+1$.

По условию задачи, сумма их квадратов равна 1201. Составим и решим уравнение:

$n^2 + (n+1)^2 = 1201$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 1201$

Приведем подобные слагаемые:

$2n^2 + 2n + 1 = 1201$

$2n^2 + 2n - 1200 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$n^2 + n - 600 = 0$

Мы получили приведенное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{2401} = 49$.

Теперь найдем корни уравнения $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + 49}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$n_2 = \frac{-1 - 49}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Поскольку в задаче речь идет о натуральных числах, корень $n_2 = -25$ не является решением. Таким образом, первое число $n=24$, а следующее за ним число $n+1=25$.

Проверим: $24^2 + 25^2 = 576 + 625 = 1201$. Условие выполняется.

Теперь найдем разность квадратов этих чисел, то есть $(n+1)^2 - n^2$:

$25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$

Можно также воспользоваться формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$25^2 - 24^2 = (25-24)(25+24) = 1 \cdot 49 = 49$

Ответ: 49

28.29 Найдите три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 1589.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа это $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ – натуральное число.

По условию задачи, сумма их квадратов равна 1589. Составим уравнение:
$(n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 1589$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы, и упростим выражение:
$(n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 1589$
$3n^2 + 2 = 1589$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $n$:
$3n^2 = 1589 - 2$
$3n^2 = 1587$
$n^2 = \frac{1587}{3}$
$n^2 = 529$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как мы ищем натуральные числа, нас интересует только положительный корень.
$n = \sqrt{529} = 23$

Мы нашли среднее число, $n=23$. Теперь можем найти и остальные два числа:
Первое число: $n - 1 = 23 - 1 = 22$
Второе число: $n = 23$
Третье число: $n + 1 = 23 + 1 = 24$

Выполним проверку, чтобы убедиться в правильности решения:
$22^2 + 23^2 + 24^2 = 484 + 529 + 576 = 1589$
Сумма квадратов действительно равна 1589.

Ответ: 22, 23, 24.

28.30 Гипотенуза прямоугольного треугольника больше одного из катетов на 32 см и больше другого на 9 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть $c$ — длина гипотенузы прямоугольного треугольника в сантиметрах, а $a$ и $b$ — длины его катетов.

Согласно условию задачи, гипотенуза больше одного из катетов на 32 см и больше другого на 9 см. Это можно записать в виде следующих соотношений:

$c = a + 32 \implies a = c - 32$

$c = b + 9 \implies b = c - 9$

Для любого треугольника длины его сторон должны быть положительными числами, поэтому $a > 0$ и $b > 0$. Из этого следует, что $c - 32 > 0$, то есть $c > 32$.

В прямоугольном треугольнике стороны связаны теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$ через $c$:

$(c - 32)^2 + (c - 9)^2 = c^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(c^2 - 2 \cdot c \cdot 32 + 32^2) + (c^2 - 2 \cdot c \cdot 9 + 9^2) = c^2$

$c^2 - 64c + 1024 + c^2 - 18c + 81 = c^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$2c^2 - 82c + 1105 = c^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2c^2 - c^2 - 82c + 1105 = 0$

$c^2 - 82c + 1105 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-82)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1105 = 6724 - 4420 = 2304$

Найдем корни уравнения по формуле $c_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

$c_1 = \frac{82 + 48}{2} = \frac{130}{2} = 65$

$c_2 = \frac{82 - 48}{2} = \frac{34}{2} = 17$

Теперь проверим оба найденных значения. Ранее мы установили, что должно выполняться условие $c > 32$.

Корень $c_2 = 17$ не удовлетворяет этому условию, так как $17 < 32$. Если бы гипотенуза была равна 17 см, то один из катетов имел бы отрицательную длину: $a = 17 - 32 = -15$ см, что физически невозможно.

Корень $c_1 = 65$ удовлетворяет условию $65 > 32$. Следовательно, длина гипотенузы равна 65 см.

Теперь найдем длины катетов:

$a = c - 32 = 65 - 32 = 33$ см

$b = c - 9 = 65 - 9 = 56$ см

Итак, стороны треугольника равны 33 см, 56 см и 65 см.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения в теорему Пифагора:

$33^2 + 56^2 = 1089 + 3136 = 4225$

$65^2 = 4225$

$4225 = 4225$. Равенство верно.

Ответ: стороны треугольника равны 33 см, 56 см и 65 см.