Страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

29.15 а) $4x^4 - 37x^2 + 9 = 0$;

б) $9x^4 + 32x^2 - 16 = 0$;

в) $16x^4 - 25x^2 + 9 = 0$;

г) $9x^4 - 32x^2 - 16 = 0$.

а) Дано биквадратное уравнение $4x^4 - 37x^2 + 9 = 0$.
Это уравнение решается путем введения новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение: $4t^2 - 37t + 9 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-37)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1369 - 144 = 1225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-37) + 35}{2 \cdot 4} = \frac{37 + 35}{8} = \frac{72}{8} = 9$.
$t_2 = \frac{-(-37) - 35}{2 \cdot 4} = \frac{37 - 35}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Оба корня ($9$ и $\frac{1}{4}$) положительные, следовательно, удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня $t$:
1) При $t = 9$, получаем $x^2 = 9$, откуда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
2) При $t = \frac{1}{4}$, получаем $x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $x_3 = \frac{1}{2}$ и $x_4 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = \frac{1}{2}, x_4 = -\frac{1}{2}$.

б) Дано биквадратное уравнение $9x^4 + 32x^2 - 16 = 0$.
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $9t^2 + 32t - 16 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 32^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-16) = 1024 + 576 = 1600$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-32 + 40}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
$t_2 = \frac{-32 - 40}{2 \cdot 9} = \frac{-72}{18} = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим единственный подходящий корень $t_1 = \frac{4}{9}$.
Выполним обратную замену: $x^2 = \frac{4}{9}$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$, то есть $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{2}{3}$.

в) Дано биквадратное уравнение $16x^4 - 25x^2 + 9 = 0$.
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).
Получим квадратное уравнение: $16t^2 - 25t + 9 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 625 - 576 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-25) + 7}{2 \cdot 16} = \frac{25 + 7}{32} = \frac{32}{32} = 1$.
$t_2 = \frac{-(-25) - 7}{2 \cdot 16} = \frac{25 - 7}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$.
Оба корня ($1$ и $\frac{9}{16}$) положительные и удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) При $t = 1$, получаем $x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
2) При $t = \frac{9}{16}$, получаем $x^2 = \frac{9}{16}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{9}{16}}$, то есть $x_3 = \frac{3}{4}$ и $x_4 = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1, x_3 = \frac{3}{4}, x_4 = -\frac{3}{4}$.

г) Дано биквадратное уравнение $9x^4 - 32x^2 - 16 = 0$.
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид: $9t^2 - 32t - 16 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-32)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-16) = 1024 + 576 = 1600$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-32) + 40}{2 \cdot 9} = \frac{32 + 40}{18} = \frac{72}{18} = 4$.
$t_2 = \frac{-(-32) - 40}{2 \cdot 9} = \frac{32 - 40}{18} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}$.
Корень $t_2 = -\frac{4}{9}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, отбрасываем его.
Остается один корень $t_1 = 4$.
Выполним обратную замену: $x^2 = 4$.
Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

29.16 a) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0;$

б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0;$

в) $x^6 + 7x^3 - 8 = 0;$

г) $x^6 + 9x^3 + 8 = 0.$

а) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $x^3$. Чтобы его решить, введем замену переменной.

Пусть $y = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$. Подставив новую переменную в исходное уравнение, получим:

$y^2 - 7y - 8 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$:

1) $x^3 = y_1 = 8 \implies x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$

2) $x^3 = y_2 = -1 \implies x_2 = \sqrt[3]{-1} = -1$

Ответ: $-1; 2$.

б) $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $y = x^3$, тогда $x^6 = y^2$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 9y + 8 = 0$

Решим его. Можно применить теорему Виета: сумма корней равна $9$, а их произведение равно $8$. Отсюда корни $y_1=1$ и $y_2=8$. Либо найдем через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$

Корни для $y$:

$y_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Выполняем обратную замену:

1) $x^3 = y_1 = 8 \implies x_1 = \sqrt[3]{8} = 2$

2) $x^3 = y_2 = 1 \implies x_2 = \sqrt[3]{1} = 1$

Ответ: $1; 2$.

в) $x^6 + 7x^3 - 8 = 0$

Сделаем замену $y = x^3$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 7y - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: сумма корней $-7$, произведение $-8$. Корни $y_1=1$ и $y_2=-8$. Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$

Корни для $y$:

$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Выполняем обратную замену:

1) $x^3 = y_1 = 1 \implies x_1 = \sqrt[3]{1} = 1$

2) $x^3 = y_2 = -8 \implies x_2 = \sqrt[3]{-8} = -2$

Ответ: $-2; 1$.

г) $x^6 + 9x^3 + 8 = 0$

Вводим замену $y = x^3$ и получаем квадратное уравнение:

$y^2 + 9y + 8 = 0$

Решим его. По теореме Виета: сумма корней равна $-9$, а произведение $8$. Корни $y_1=-1$ и $y_2=-8$. Проверим с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49$

Корни для $y$:

$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 + 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-9 - 7}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Выполняем обратную замену:

1) $x^3 = y_1 = -1 \implies x_1 = \sqrt[3]{-1} = -1$

2) $x^3 = y_2 = -8 \implies x_2 = \sqrt[3]{-8} = -2$

Ответ: $-2; -1$.

Решите уравнение:

29.17 а)

$\frac{5}{x - 2} + 1 = \frac{14}{x^2 - 4x + 4}$

29.17 б)

$\frac{1}{3x + 1} + \frac{1}{9x^2 + 6x + 1} = 2$

29.17 в)

$\frac{2}{x - 3} + 1 = \frac{15}{x^2 - 6x + 9}$

29.17 г)

$\frac{2}{5x + 1} + \frac{3}{25x^2 + 10x + 1} = 1$

а) Дано уравнение: $\frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{x^2 - 4x + 4}$.
Первым шагом заметим, что знаменатель в правой части уравнения является полным квадратом разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.
Перепишем уравнение в виде: $\frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{(x-2)^2}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому $x-2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.
Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x-2)^2$:
$\frac{5(x-2)}{(x-2)^2} + \frac{(x-2)^2}{(x-2)^2} = \frac{14}{(x-2)^2}$.
Теперь мы можем отбросить знаменатели, умножив обе части уравнения на $(x-2)^2$, так как $x \neq 2$:
$5(x-2) + (x-2)^2 = 14$.
Раскроем скобки и упростим выражение:
$5x - 10 + x^2 - 4x + 4 = 14$.
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + (5x - 4x) + (-10 + 4 - 14) = 0$
$x^2 + x - 20 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -1, а их произведение равно -20. Подбором находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 2$). Оба корня, -5 и 4, не равны 2, следовательно, они являются решениями исходного уравнения.
Ответ: -5; 4.

б) Дано уравнение: $\frac{1}{3x+1} + \frac{1}{9x^2 + 6x + 1} = 2$.
Знаменатель второй дроби является полным квадратом суммы: $9x^2 + 6x + 1 = (3x+1)^2$.
Уравнение можно переписать как: $\frac{1}{3x+1} + \frac{1}{(3x+1)^2} = 2$.
ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $3x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{1}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(3x+1)^2$:
$\frac{3x+1}{(3x+1)^2} + \frac{1}{(3x+1)^2} = \frac{2(3x+1)^2}{(3x+1)^2}$.
Умножим обе части на $(3x+1)^2$ (с учетом ОДЗ):
$3x + 1 + 1 = 2(3x+1)^2$.
Раскроем скобки и упростим:
$3x + 2 = 2(9x^2 + 6x + 1)$
$3x + 2 = 18x^2 + 12x + 2$.
Перенесем все члены в одну сторону:
$18x^2 + 12x - 3x + 2 - 2 = 0$
$18x^2 + 9x = 0$.
Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:
$9x(2x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$9x = 0 \implies x_1 = 0$
$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_2 = -0.5$.
Оба корня (0 и -0.5) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -\frac{1}{3}$).
Ответ: -0.5; 0.

в) Дано уравнение: $\frac{2}{x-3} + 1 = \frac{15}{x^2 - 6x + 9}$.
Знаменатель в правой части является полным квадратом разности: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Перепишем уравнение: $\frac{2}{x-3} + 1 = \frac{15}{(x-3)^2}$.
ОДЗ: $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
Приведем к общему знаменателю $(x-3)^2$:
$\frac{2(x-3)}{(x-3)^2} + \frac{(x-3)^2}{(x-3)^2} = \frac{15}{(x-3)^2}$.
Умножим обе части на $(x-3)^2$ (с учетом ОДЗ):
$2(x-3) + (x-3)^2 = 15$.
Раскроем скобки:
$2x - 6 + x^2 - 6x + 9 = 15$.
Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 3 = 15$
$x^2 - 4x - 12 = 0$.
Решим уравнение по теореме Виета: сумма корней равна 4, произведение равно -12. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 3$). Оба корня подходят.
Ответ: -2; 6.

г) Дано уравнение: $\frac{2}{5x+1} + \frac{3}{25x^2 + 10x + 1} = 1$.
Знаменатель второй дроби является полным квадратом: $25x^2 + 10x + 1 = (5x+1)^2$.
Перепишем уравнение: $\frac{2}{5x+1} + \frac{3}{(5x+1)^2} = 1$.
ОДЗ: $5x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{1}{5}$ или $x \neq -0.2$.
Приведем к общему знаменателю $(5x+1)^2$:
$\frac{2(5x+1)}{(5x+1)^2} + \frac{3}{(5x+1)^2} = \frac{(5x+1)^2}{(5x+1)^2}$.
Умножим обе части на $(5x+1)^2$ (с учетом ОДЗ):
$2(5x+1) + 3 = (5x+1)^2$.
Раскроем скобки:
$10x + 2 + 3 = 25x^2 + 10x + 1$
$10x + 5 = 25x^2 + 10x + 1$.
Перенесем все члены в правую часть:
$25x^2 + 10x - 10x + 1 - 5 = 0$
$25x^2 - 4 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение.
$25x^2 = 4$
$x^2 = \frac{4}{25}$.
$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$
$x_1 = \frac{2}{5} = 0.4$ и $x_2 = -\frac{2}{5} = -0.4$.
Оба корня (0.4 и -0.4) не равны -0.2, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -0.4; 0.4.

29.18 a) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{8}{x^3 - 4x}$;

б) $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x-3} = \frac{5}{x^3 - 9x}$;

в) $\frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1}$;

г) $\frac{2x-5}{x^2 - 3x} - \frac{x+2}{x^2 + 3x} + \frac{x-5}{x^2 - 9} = 0$.

а) Запишем уравнение: $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{8}{x^3 - 4x}$.
Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:
$x^2 - 2x = x(x - 2)$
$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.
Общий знаменатель для всех дробей: $x(x - 2)(x + 2)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$1 \cdot x(x - 2) + 1 \cdot (x + 2) = 8$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2x + x + 2 = 8$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются числа 3 и -2.
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. Корень $x=3$ удовлетворяет условиям. Корень $x=-2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$, следовательно, является посторонним корнем.
Ответ: $3$.

б) Запишем уравнение: $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x - 3} = \frac{5}{x^3 - 9x}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 3x = x(x - 3)$
$x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.
Общий знаменатель: $x(x - 3)(x + 3)$.
Умножим уравнение на общий знаменатель:
$2(x + 3) - 1 \cdot x(x + 3) = 5$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x + 6 - x^2 - 3x = 5$
$-x^2 - x + 1 = 0$
$x^2 + x - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Оба корня, $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, не совпадают ни с одним из значений, исключенных из ОДЗ. Следовательно, оба корня являются решениями.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

в) Запишем уравнение: $\frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1}$.
Преобразуем знаменатели: $2 - 2x = 2(1 - x) = -2(x - 1)$ и $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Уравнение принимает вид: $\frac{7}{x+1} + \frac{x+4}{2(x - 1)} = \frac{3x^2 - 38}{(x - 1)(x + 1)}$.
ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq -1$.
Общий знаменатель: $2(x - 1)(x + 1)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$7 \cdot 2(x - 1) + (x + 4)(x + 1) = 2(3x^2 - 38)$
Раскроем скобки:
$14x - 14 + x^2 + 5x + 4 = 6x^2 - 76$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 19x - 10 = 6x^2 - 76$
$5x^2 - 19x - 66 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-66) = 361 + 1320 = 1681 = 41^2$.
$x_1 = \frac{19 + 41}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6$
$x_2 = \frac{19 - 41}{2 \cdot 5} = \frac{-22}{10} = -2,2$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $6; -2,2$.

г) Запишем уравнение: $\frac{2x-5}{x^2-3x} - \frac{x+2}{x^2+3x} + \frac{x-5}{x^2-9} = 0$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 3x = x(x - 3)$
$x^2 + 3x = x(x + 3)$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.
Общий знаменатель: $x(x - 3)(x + 3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и запишем числитель равным нулю:
$(2x - 5)(x + 3) - (x + 2)(x - 3) + x(x - 5) = 0$
Раскроем скобки:
$(2x^2 + 6x - 5x - 15) - (x^2 - 3x + 2x - 6) + (x^2 - 5x) = 0$
$(2x^2 + x - 15) - (x^2 - x - 6) + x^2 - 5x = 0$
$2x^2 + x - 15 - x^2 + x + 6 + x^2 - 5x = 0$
Соберем подобные члены:
$(2x^2 - x^2 + x^2) + (x + x - 5x) + (-15 + 6) = 0$
$2x^2 - 3x - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$
Проверим корни. Корень $x=3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), поэтому является посторонним. Корень $x=-1,5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-1,5$.

29.19 а) $\frac{8x + 4}{x^3 + 1} + \frac{4}{x + 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}$;

б) $\frac{a^2 + 56}{a^3 + 8} + \frac{3a + 2}{a^2 - 2a + 4} = \frac{5}{a + 2}$;

в) $\frac{16 - a^2}{8a^3 + 1} - \frac{2a + 1}{4a^2 - 2a + 1} = \frac{2}{2a + 1}$;

г) $\frac{x + 3}{9x^2 + 3x + 1} + \frac{3}{27x^3 - 1} = \frac{1}{3x - 1}$.

a) $\frac{8x + 4}{x^3 + 1} + \frac{4}{x + 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}$

Сначала разложим знаменатель $x^3 + 1$ на множители, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Уравнение принимает вид:
$\frac{8x + 4}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} + \frac{4}{x + 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю.
$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Выражение $x^2 - x + 1$ не равно нулю для любых действительных $x$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.
Итак, ОДЗ: $x \neq -1$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x + 1)(x^2 - x + 1)$:
$\frac{8x + 4}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} + \frac{4(x^2 - x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{(5x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)}$.

Так как знаменатели равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять числители:
$8x + 4 + 4(x^2 - x + 1) = (5x - 1)(x + 1)$
$8x + 4 + 4x^2 - 4x + 4 = 5x^2 + 5x - x - 1$
$4x^2 + 4x + 8 = 5x^2 + 4x - 1$

Перенесем все члены в одну сторону и упростим:
$5x^2 - 4x^2 + 4x - 4x - 1 - 8 = 0$
$x^2 - 9 = 0$
$(x - 3)(x + 3) = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: $x = -3, x = 3$.

б) $\frac{a^2 + 56}{a^3 + 8} + \frac{3a + 2}{a^2 - 2a + 4} = \frac{5}{a + 2}$

Разложим знаменатель $a^3 + 8$ на множители по формуле суммы кубов:
$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Уравнение переписывается в виде:
$\frac{a^2 + 56}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} + \frac{3a + 2}{a^2 - 2a + 4} = \frac{5}{a + 2}$.

ОДЗ: $a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$. Выражение $a^2 - 2a + 4$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0$.
Итак, ОДЗ: $a \neq -2$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$:
$\frac{a^2 + 56}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} + \frac{(3a + 2)(a + 2)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)} = \frac{5(a^2 - 2a + 4)}{(a + 2)(a^2 - 2a + 4)}$.

Приравниваем числители:
$a^2 + 56 + (3a + 2)(a + 2) = 5(a^2 - 2a + 4)$
$a^2 + 56 + 3a^2 + 6a + 2a + 4 = 5a^2 - 10a + 20$
$4a^2 + 8a + 60 = 5a^2 - 10a + 20$.

Переносим все члены в правую часть:
$5a^2 - 4a^2 - 10a - 8a + 20 - 60 = 0$
$a^2 - 18a - 40 = 0$.

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 18, а произведение -40. Это числа 20 и -2.
$a_1 = 20$, $a_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($a \neq -2$). Корень $a_2 = -2$ является посторонним.
Следовательно, единственное решение - это $a = 20$.

Ответ: $a = 20$.

в) $\frac{16 - a^2}{8a^3 + 1} - \frac{2a + 1}{4a^2 - 2a + 1} = \frac{2}{2a + 1}$

Разложим знаменатель $8a^3 + 1$ на множители:
$8a^3 + 1 = (2a)^3 + 1^3 = (2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$.

Уравнение принимает вид:
$\frac{16 - a^2}{(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)} - \frac{2a + 1}{4a^2 - 2a + 1} = \frac{2}{2a + 1}$.

ОДЗ: $2a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1/2$. Выражение $4a^2 - 2a + 1$ всегда положительно (дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = -12 < 0$).
Итак, ОДЗ: $a \neq -1/2$.

Приводим к общему знаменателю $(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)$:
$\frac{16 - a^2}{(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)} - \frac{(2a + 1)(2a+1)}{(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)} = \frac{2(4a^2 - 2a + 1)}{(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)}$.

Приравниваем числители:
$16 - a^2 - (2a + 1)^2 = 2(4a^2 - 2a + 1)$
$16 - a^2 - (4a^2 + 4a + 1) = 8a^2 - 4a + 2$
$16 - a^2 - 4a^2 - 4a - 1 = 8a^2 - 4a + 2$
$-5a^2 - 4a + 15 = 8a^2 - 4a + 2$.

Собираем все члены в одну сторону:
$8a^2 + 5a^2 - 4a + 4a + 2 - 15 = 0$
$13a^2 - 13 = 0$
$13(a^2 - 1) = 0$
$a^2 = 1$.

Корни уравнения: $a_1 = 1$ и $a_2 = -1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($a \neq -1/2$).

Ответ: $a = -1, a = 1$.

г) $\frac{x + 3}{9x^2 + 3x + 1} + \frac{3}{27x^3 - 1} = \frac{1}{3x - 1}$

Разложим знаменатель $27x^3 - 1$ на множители по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$27x^3 - 1 = (3x)^3 - 1^3 = (3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)$.

Перепишем уравнение:
$\frac{x + 3}{9x^2 + 3x + 1} + \frac{3}{(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)} = \frac{1}{3x - 1}$.

ОДЗ: $3x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1/3$. Выражение $9x^2 + 3x + 1$ всегда положительно (дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = -27 < 0$).
Итак, ОДЗ: $x \neq 1/3$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)$. Для этого перенесем дробь из правой части налево:
$\frac{(x+3)(3x-1)}{(3x-1)(9x^2 + 3x + 1)} + \frac{3}{(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)} - \frac{9x^2 + 3x + 1}{(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)} = 0$.

Приравниваем числитель к нулю:
$(x + 3)(3x - 1) + 3 - (9x^2 + 3x + 1) = 0$
$3x^2 - x + 9x - 3 + 3 - 9x^2 - 3x - 1 = 0$
$(3x^2 - 9x^2) + (-x + 9x - 3x) + (-3 + 3 - 1) = 0$
$-6x^2 + 5x - 1 = 0$.

Умножим уравнение на -1 для удобства:
$6x^2 - 5x + 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 1}{12}$.

Получаем два корня:
$x_1 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 1/3$). Корень $x_2 = 1/3$ является посторонним.
Остается единственный корень $x = 1/2$.

Ответ: $x = 1/2$.

29.20 а) $ \frac{8}{16x^2 - 9} - \frac{8}{16x^2 - 24x + 9} = \frac{1}{4x^2 + 3x} $;

б) $ \frac{18}{4x^2 + 4x + 1} - \frac{1}{2x^2 - x} = \frac{6}{4x^2 - 1} $;

в) $ \frac{x + 3}{4x^2 - 9} - \frac{3 - x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x - 3} $;

г) $ \frac{1 + 2x}{6x^2 - 3x} - \frac{2x - 1}{14x^2 + 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3} $.

а) $\frac{8}{16x^2 - 9} - \frac{8}{16x^2 - 24x + 9} = \frac{1}{4x^2 + 3x}$

Сначала разложим знаменатели на множители. Используем формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$16x^2 - 9 = (4x)^2 - 3^2 = (4x - 3)(4x + 3)$

$16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = (4x - 3)^2$

$4x^2 + 3x = x(4x + 3)$

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{8}{(4x - 3)(4x + 3)} - \frac{8}{(4x - 3)^2} = \frac{1}{x(4x + 3)}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не обращаются в ноль: $x \neq 0$, $4x - 3 \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{3}{4}$), и $4x + 3 \neq 0$ (т.е. $x \neq -\frac{3}{4}$).

Общий знаменатель для всех дробей: $x(4x + 3)(4x - 3)^2$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

$8 \cdot x(4x - 3) - 8 \cdot x(4x + 3) = 1 \cdot (4x - 3)^2$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$8x((4x - 3) - (4x + 3)) = (4x - 3)^2$

$8x(4x - 3 - 4x - 3) = 16x^2 - 24x + 9$

$8x(-6) = 16x^2 - 24x + 9$

$-48x = 16x^2 - 24x + 9$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$16x^2 - 24x + 48x + 9 = 0$

$16x^2 + 24x + 9 = 0$

Полученное выражение является полным квадратом суммы: $(4x + 3)^2 = 0$.

Решая это уравнение, получаем $4x + 3 = 0$, откуда $x = -\frac{3}{4}$.

Сравним найденный корень с ОДЗ. Мы установили, что $x \neq -\frac{3}{4}$. Следовательно, найденный корень является посторонним и не может быть решением уравнения.

Ответ: нет решений.

б) $\frac{18}{4x^2 + 4x + 1} - \frac{1}{2x^2 - x} = \frac{6}{4x^2 - 1}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$

$2x^2 - x = x(2x - 1)$

$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$

Перепишем уравнение:

$\frac{18}{(2x + 1)^2} - \frac{1}{x(2x - 1)} = \frac{6}{(2x - 1)(2x + 1)}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $2x - 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{1}{2}$), $2x + 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq -\frac{1}{2}$).

Общий знаменатель: $x(2x - 1)(2x + 1)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

$18 \cdot x(2x - 1) - 1 \cdot (2x + 1)^2 = 6 \cdot x(2x + 1)$

Раскроем скобки и упростим:

$18(2x^2 - x) - (4x^2 + 4x + 1) = 6(2x^2 + x)$

$36x^2 - 18x - 4x^2 - 4x - 1 = 12x^2 + 6x$

Приведем подобные слагаемые:

$32x^2 - 22x - 1 = 12x^2 + 6x$

$32x^2 - 12x^2 - 22x - 6x - 1 = 0$

$20x^2 - 28x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1) = 784 + 80 = 864$

$\sqrt{D} = \sqrt{864} = \sqrt{144 \cdot 6} = 12\sqrt{6}$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{28 \pm 12\sqrt{6}}{2 \cdot 20} = \frac{28 \pm 12\sqrt{6}}{40} = \frac{4(7 \pm 3\sqrt{6})}{40} = \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10}$

Оба корня, $x_1 = \frac{7 + 3\sqrt{6}}{10}$ и $x_2 = \frac{7 - 3\sqrt{6}}{10}$, не совпадают с исключенными значениями из ОДЗ ($0, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$), следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: $x = \frac{7 \pm 3\sqrt{6}}{10}$.

в) $\frac{x + 3}{4x^2 - 9} - \frac{3 - x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x - 3}$

Разложим знаменатели на множители:

$4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)$

$4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$

Заметим, что $3 - x = -(x - 3)$. Подставим это в уравнение:

$\frac{x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{-(x - 3)}{(2x + 3)^2} = \frac{2}{2x - 3}$

$\frac{x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{x - 3}{(2x + 3)^2} = \frac{2}{2x - 3}$

ОДЗ: $2x - 3 \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{3}{2}$) и $2x + 3 \neq 0$ (т.е. $x \neq -\frac{3}{2}$).

Общий знаменатель: $(2x - 3)(2x + 3)^2$. Умножим на него обе части уравнения:

$(x + 3)(2x + 3) + (x - 3)(2x - 3) = 2(2x + 3)^2$

Раскроем скобки:

$(2x^2 + 3x + 6x + 9) + (2x^2 - 3x - 6x + 9) = 2(4x^2 + 12x + 9)$

$(2x^2 + 9x + 9) + (2x^2 - 9x + 9) = 8x^2 + 24x + 18$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 + 18 = 8x^2 + 24x + 18$

Перенесем все члены в одну сторону:

$8x^2 - 4x^2 + 24x + 18 - 18 = 0$

$4x^2 + 24x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x + 6 = 0 \Rightarrow x_2 = -6$

Оба корня, $x=0$ и $x=-6$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; -6$.

г) $\frac{1 + 2x}{6x^2 - 3x} - \frac{2x - 1}{14x^2 + 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3}$

Разложим знаменатели на множители:

$6x^2 - 3x = 3x(2x - 1)$

$14x^2 + 7x = 7x(2x + 1)$

$12x^2 - 3 = 3(4x^2 - 1) = 3(2x - 1)(2x + 1)$

Перепишем уравнение, упорядочив слагаемые в числителе первой дроби:

$\frac{2x + 1}{3x(2x - 1)} - \frac{2x - 1}{7x(2x + 1)} = \frac{8}{3(2x - 1)(2x + 1)}$

ОДЗ: $x \neq 0$, $2x - 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq \frac{1}{2}$), $2x + 1 \neq 0$ (т.е. $x \neq -\frac{1}{2}$).

Общий знаменатель: $21x(2x - 1)(2x + 1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$7(2x + 1)(2x + 1) - 3(2x - 1)(2x - 1) = 7x \cdot 8$

$7(2x + 1)^2 - 3(2x - 1)^2 = 56x$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$7(4x^2 + 4x + 1) - 3(4x^2 - 4x + 1) = 56x$

$28x^2 + 28x + 7 - (12x^2 - 12x + 3) = 56x$

$28x^2 + 28x + 7 - 12x^2 + 12x - 3 = 56x$

Приведем подобные слагаемые:

$16x^2 + 40x + 4 = 56x$

$16x^2 - 16x + 4 = 0$

Разделим всё уравнение на 4 для упрощения:

$4x^2 - 4x + 1 = 0$

Это выражение является полным квадратом разности: $(2x - 1)^2 = 0$.

Отсюда следует, что $2x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{2}$.

Сравним найденный корень с ОДЗ. Мы установили, что $x \neq \frac{1}{2}$. Следовательно, полученный корень является посторонним.

Ответ: нет решений.