Номер 29.18, страница 168, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.18, страница 168.

Условие.

29.18 a) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{8}{x^3 - 4x}$;

б) $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x-3} = \frac{5}{x^3 - 9x}$;

в) $\frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1}$;

г) $\frac{2x-5}{x^2 - 3x} - \frac{x+2}{x^2 + 3x} + \frac{x-5}{x^2 - 9} = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Запишем уравнение: $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x^2 - 2x} = \frac{8}{x^3 - 4x}$.
Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:
$x^2 - 2x = x(x - 2)$
$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq 0$, $x \neq 2$, $x \neq -2$.
Общий знаменатель для всех дробей: $x(x - 2)(x + 2)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
$1 \cdot x(x - 2) + 1 \cdot (x + 2) = 8$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2x + x + 2 = 8$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются числа 3 и -2.
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ. Корень $x=3$ удовлетворяет условиям. Корень $x=-2$ не удовлетворяет условию $x \neq -2$, следовательно, является посторонним корнем.
Ответ: $3$.

б) Запишем уравнение: $\frac{2}{x^2 - 3x} - \frac{1}{x - 3} = \frac{5}{x^3 - 9x}$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 3x = x(x - 3)$
$x^3 - 9x = x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.
Общий знаменатель: $x(x - 3)(x + 3)$.
Умножим уравнение на общий знаменатель:
$2(x + 3) - 1 \cdot x(x + 3) = 5$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x + 6 - x^2 - 3x = 5$
$-x^2 - x + 1 = 0$
$x^2 + x - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Оба корня, $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$, не совпадают ни с одним из значений, исключенных из ОДЗ. Следовательно, оба корня являются решениями.
Ответ: $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

в) Запишем уравнение: $\frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1}$.
Преобразуем знаменатели: $2 - 2x = 2(1 - x) = -2(x - 1)$ и $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Уравнение принимает вид: $\frac{7}{x+1} + \frac{x+4}{2(x - 1)} = \frac{3x^2 - 38}{(x - 1)(x + 1)}$.
ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq -1$.
Общий знаменатель: $2(x - 1)(x + 1)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$7 \cdot 2(x - 1) + (x + 4)(x + 1) = 2(3x^2 - 38)$
Раскроем скобки:
$14x - 14 + x^2 + 5x + 4 = 6x^2 - 76$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 19x - 10 = 6x^2 - 76$
$5x^2 - 19x - 66 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-66) = 361 + 1320 = 1681 = 41^2$.
$x_1 = \frac{19 + 41}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6$
$x_2 = \frac{19 - 41}{2 \cdot 5} = \frac{-22}{10} = -2,2$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $6; -2,2$.

г) Запишем уравнение: $\frac{2x-5}{x^2-3x} - \frac{x+2}{x^2+3x} + \frac{x-5}{x^2-9} = 0$.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 3x = x(x - 3)$
$x^2 + 3x = x(x + 3)$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq 3$, $x \neq -3$.
Общий знаменатель: $x(x - 3)(x + 3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и запишем числитель равным нулю:
$(2x - 5)(x + 3) - (x + 2)(x - 3) + x(x - 5) = 0$
Раскроем скобки:
$(2x^2 + 6x - 5x - 15) - (x^2 - 3x + 2x - 6) + (x^2 - 5x) = 0$
$(2x^2 + x - 15) - (x^2 - x - 6) + x^2 - 5x = 0$
$2x^2 + x - 15 - x^2 + x + 6 + x^2 - 5x = 0$
Соберем подобные члены:
$(2x^2 - x^2 + x^2) + (x + x - 5x) + (-15 + 6) = 0$
$2x^2 - 3x - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{3 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{3 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1,5$
Проверим корни. Корень $x=3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 3$), поэтому является посторонним. Корень $x=-1,5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-1,5$.