Номер 29.25, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.25, страница 169.

Условие.

29.25 а) $48 - 14x^{-1} + x^{-2} = 0;$

б) $9(x + 2)^{-2} - 6(x + 2)^{-1} + 1 = 0;$

в) $24 - 10x^{-1} + x^{-2} = 0;$

г) $16(x - 3)^{-2} + 8(x - 3)^{-1} + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Исходное уравнение: $48 - 14x^{-1} + x^{-2} = 0$. Это уравнение сводится к квадратному путем введения замены. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. Пусть $y = x^{-1}$, тогда $y^2 = x^{-2}$. Подставив замену в уравнение, получаем: $y^2 - 14y + 48 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 6$ и $y_2 = 8$, так как $6 \cdot 8 = 48$ и $6 + 8 = 14$. Теперь выполним обратную замену. 1) $x^{-1} = 6$, что означает $\frac{1}{x} = 6$, откуда $x_1 = \frac{1}{6}$. 2) $x^{-1} = 8$, что означает $\frac{1}{x} = 8$, откуда $x_2 = \frac{1}{8}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{8}; \frac{1}{6}$.

б) Исходное уравнение: $9(x + 2)^{-2} - 6(x + 2)^{-1} + 1 = 0$. ОДЗ: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Введем замену $y = (x + 2)^{-1}$. Тогда уравнение принимает вид: $9y^2 - 6y + 1 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(3y - 1)^2 = 0$. Отсюда $3y - 1 = 0$, следовательно $y = \frac{1}{3}$. Выполним обратную замену: $(x + 2)^{-1} = \frac{1}{3}$, или $\frac{1}{x+2} = \frac{1}{3}$. Из этого равенства следует, что $x + 2 = 3$. Решая это уравнение, находим $x = 1$. Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: 1.

в) Исходное уравнение: $24 - 10x^{-1} + x^{-2} = 0$. ОДЗ: $x \neq 0$. Сделаем замену переменной $y = x^{-1}$. Уравнение преобразуется к виду: $y^2 - 10y + 24 = 0$. По теореме Виета, корни этого уравнения $y_1 = 4$ и $y_2 = 6$, так как $4 \cdot 6 = 24$ и $4 + 6 = 10$. Производим обратную замену: 1) $x^{-1} = 4$, то есть $\frac{1}{x} = 4$, откуда $x_1 = \frac{1}{4}$. 2) $x^{-1} = 6$, то есть $\frac{1}{x} = 6$, откуда $x_2 = \frac{1}{6}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{6}; \frac{1}{4}$.

г) Исходное уравнение: $16(x - 3)^{-2} + 8(x - 3)^{-1} + 1 = 0$. ОДЗ: $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Введем замену $y = (x - 3)^{-1}$. Тогда уравнение принимает вид: $16y^2 + 8y + 1 = 0$. Левая часть является полным квадратом: $(4y + 1)^2 = 0$. Отсюда $4y + 1 = 0$, следовательно $y = -\frac{1}{4}$. Выполним обратную замену: $(x - 3)^{-1} = -\frac{1}{4}$, или $\frac{1}{x-3} = -\frac{1}{4}$. Из этого равенства следует, что $x - 3 = -4$. Решая это уравнение, находим $x = -1$. Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: -1.