Номер 29.28, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.28, страница 170.

Условие.

29.28 а) $x(x-1)(x-2)(x-3)=15;$

б) $x^2 + \frac{1}{x^2} + x + \frac{1}{x} = 4;$

в) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3;$

г) $2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 7\left(x + \frac{1}{x}\right) + 9 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 15$.

Это уравнение четвертой степени. Для его решения сгруппируем множители парами. Удобнее всего сгруппировать первый множитель с последним, а второй с третьим:

$(x(x - 3)) \cdot ((x - 1)(x - 2)) = 15$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 - 3x)(x^2 - 3x + 2) = 15$

Теперь можно ввести замену переменной. Пусть $y = x^2 - 3x$. Тогда уравнение примет вид:

$y(y + 2) = 15$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 15 = 0$

Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни:

$y_1 = 3$, $y_2 = -5$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

1. При $y = 3$:

$x^2 - 3x = 3$

$x^2 - 3x - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

2. При $y = -5$:

$x^2 - 3x = -5$

$x^2 - 3x + 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

б)

Дано уравнение: $x^2 + \frac{1}{x^2} + x + \frac{1}{x} = 4$.

Заметим, что $x \neq 0$. Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 4 = 0$

Это возвратное уравнение. Введем замену переменной: $y = x + \frac{1}{x}$.

Возведем замену в квадрат, чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Отсюда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим выражения в исходное уравнение:

$(y^2 - 2) + y - 4 = 0$

$y^2 + y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y_1 = 2$, $y_2 = -3$

Выполним обратную замену.

1. При $y = 2$:

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим на $x$: $x^2 + 1 = 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0$.

Отсюда $x_1 = 1$.

2. При $y = -3$:

$x + \frac{1}{x} = -3$

Умножим на $x$: $x^2 + 1 = -3x \implies x^2 + 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Корни: $x_{2,3} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $1; \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

в)

Дано уравнение: $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3$.

Как и в пункте а), сгруппируем множители. Выбираем пары так, чтобы суммы свободных членов в них были равны: $1+4=5$ и $2+3=5$.

$((x + 1)(x + 4)) \cdot ((x + 2)(x + 3)) = 3$

Раскроем скобки:

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 3$

Введем замену переменной: $y = x^2 + 5x$.

$(y + 4)(y + 6) = 3$

Решим полученное уравнение:

$y^2 + 10y + 24 = 3$

$y^2 + 10y + 21 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = -3$, $y_2 = -7$.

Выполним обратную замену.

1. При $y = -3$:

$x^2 + 5x = -3 \implies x^2 + 5x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$.

2. При $y = -7$:

$x^2 + 5x = -7 \implies x^2 + 5x + 7 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$.

г)

Дано уравнение: $2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 7(x + \frac{1}{x}) + 9 = 0$.

Заметим, что $x \neq 0$. Это уравнение похоже на уравнение из пункта б). Введем замену $y = x + \frac{1}{x}$.

Мы уже знаем, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$. Подставим в уравнение:

$2(y^2 - 2) - 7y + 9 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$2y^2 - 4 - 7y + 9 = 0$

$2y^2 - 7y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.

Корни: $y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 3}{4}$.

$y_1 = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$y_2 = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Выполним обратную замену.

1. При $y = \frac{5}{2}$:

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

Умножим на $2x$: $2x^2 + 2 = 5x \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{8}{4} = 2$, $x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

2. При $y = 1$:

$x + \frac{1}{x} = 1$

Умножим на $x$: $x^2 + 1 = x \implies x^2 - x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $2; \frac{1}{2}$.