Номер 30.7, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.7, страница 171.

Условие.

30.7 Велосипедист ехал с определённой скоростью из деревни на станцию, находящуюся от деревни на расстоянии 32 км. Обратно он ехал со скоростью на $1 \text{ км/ч}$ большей, затратив на обратный путь на 8 мин меньше, чем на путь от деревни до станции. С какой скоростью ехал велосипедист до станции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ (км/ч) — искомая скорость велосипедиста на пути из деревни на станцию.
Расстояние от деревни до станции равно 32 км.
Время, которое велосипедист затратил на путь до станции, составляет $t_1 = \frac{32}{v}$ часов.
На обратном пути его скорость была на 1 км/ч больше, то есть $(v+1)$ км/ч.
Время, которое велосипедист затратил на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{32}{v+1}$ часов.
По условию, на обратный путь он затратил на 8 минут меньше. Переведем 8 минут в часы:
8 мин = $\frac{8}{60}$ ч = $\frac{2}{15}$ ч.
Разница во времени между поездкой до станции и обратно составляет $\frac{2}{15}$ часа. Составим уравнение:
$t_1 - t_2 = \frac{2}{15}$
$\frac{32}{v} - \frac{32}{v+1} = \frac{2}{15}$
Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 2:
$\frac{16}{v} - \frac{16}{v+1} = \frac{1}{15}$
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+1)$:
$\frac{16(v+1) - 16v}{v(v+1)} = \frac{1}{15}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{16v + 16 - 16v}{v(v+1)} = \frac{1}{15}$
$\frac{16}{v^2 + v} = \frac{1}{15}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$v^2 + v = 16 \cdot 15$
$v^2 + v = 240$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$v^2 + v - 240 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=1, c=-240$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961$
Найдем корни уравнения:
$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 31}{2}$
Первый корень:
$v_1 = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$
Второй корень:
$v_2 = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16$
Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -16$ не является решением задачи.
Следовательно, скорость велосипедиста на пути из деревни до станции составляла 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.