Номер 30.4, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.4, страница 171.

Условие.

30.4 Расстояние 30 км один из двух лыжников прошёл на 20 мин быстрее другого. Скорость первого лыжника была на 3 км/ч больше скорости второго. Какова была скорость каждого лыжника?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть скорость второго (более медленного) лыжника равна $x$ км/ч. По условию, скорость первого лыжника была на 3 км/ч больше, следовательно, она равна $(x+3)$ км/ч.

Расстояние, которое прошел каждый лыжник, составляет $S = 30$ км. Время в пути ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, время первого лыжника $t_1 = \frac{30}{x+3}$ часов, а время второго лыжника $t_2 = \frac{30}{x}$ часов.

Известно, что первый лыжник прошел дистанцию на 20 минут быстрее второго. Переведем разницу во времени в часы, чтобы единицы измерения были одинаковыми: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Так как второй лыжник был медленнее, его время в пути больше. Составим уравнение, отражающее разницу во времени: $t_2 - t_1 = \frac{1}{3}$
$\frac{30}{x} - \frac{30}{x+3} = \frac{1}{3}$

Решим это уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$: $\frac{30(x+3) - 30x}{x(x+3)} = \frac{1}{3}$
Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{30x + 90 - 30x}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$
$\frac{90}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $x^2 + 3x = 90 \cdot 3$
$x^2 + 3x = 270$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 3x - 270 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$
$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Вычислим корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 + 33}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-3 - 33}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -18$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость второго лыжника равна $x = 15$ км/ч.

Тогда скорость первого лыжника равна: $x + 3 = 15 + 3 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого лыжника 18 км/ч, скорость второго лыжника 15 км/ч.