Номер 30.6, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.6, страница 171.

Условие.

30.6 Из пункта A в пункт B, удалённый от A на расстояние 100 км, отправился междугородный автобус. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предполагалось по расписанию, и поэтому прибыл в пункт B с опозданием на 30 мин. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения этой задачи составим уравнение, введя неизвестную величину.

Пусть $x$ км/ч — это скорость, с которой автобус должен был ехать по расписанию. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей, то есть его фактическая скорость была $(x - 10)$ км/ч.

Расстояние, которое нужно было проехать, составляет $S = 100$ км.

Время в пути вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, которое автобус должен был потратить на дорогу по расписанию, равно:

$t_{расп} = \frac{100}{x}$ часов.

Фактическое время, которое автобус потратил на дорогу, равно:

$t_{факт} = \frac{100}{x - 10}$ часов.

По условию задачи, автобус прибыл в пункт В с опозданием на 30 минут. Переведем это время в часы, чтобы все единицы были согласованы:

$30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ часа} = 0.5 \text{ часа}$.

Опоздание означает, что фактическое время в пути было больше планового на 0.5 часа. На основе этого составим уравнение:

$t_{факт} - t_{расп} = 0.5$

Подставим в уравнение выражения для времени:

$\frac{100}{x - 10} - \frac{100}{x} = 0.5$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на $2x(x - 10)$, чтобы избавиться от дробей. При этом $x \ne 0$ и $x \ne 10$.

$100 \cdot 2x - 100 \cdot 2(x - 10) = 0.5 \cdot 2x(x - 10)$

$200x - 200(x - 10) = x(x - 10)$

$200x - 200x + 2000 = x^2 - 10x$

$2000 = x^2 - 10x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 10x - 2000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2000) = 100 + 8000 = 8100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 90}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 90}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

По смыслу задачи скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -40$ не является решением. Следовательно, скорость автобуса по расписанию должна была быть 50 км/ч.

Проверим полученный результат:

Плановая скорость: 50 км/ч. Плановое время: $\frac{100}{50} = 2$ часа.

Фактическая скорость: $50 - 10 = 40$ км/ч. Фактическое время: $\frac{100}{40} = 2.5$ часа.

Разница во времени: $2.5 - 2 = 0.5$ часа, что соответствует 30 минутам опоздания. Решение верное.

Ответ: 50 км/ч.