Номер 30.12, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.12, страница 172.

Условие.

30.12 Из села в город одновременно отправились автомобилист и мотоциклист. Расстояние от города до села 90 км. С какими скоростями двигались автомобиль и мотоцикл, если автомобилист прибыл в город на полчаса раньше, чем мотоциклист, а скорость его была на 15 км/ч больше?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть скорость мотоциклиста равна $x$ км/ч. Так как скорость автомобилиста на 15 км/ч больше, она составляет $(x + 15)$ км/ч.

Расстояние от села до города равно $S = 90$ км. Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое потратил мотоциклист: $t_м = \frac{90}{x}$ ч.

Время, которое потратил автомобилист: $t_а = \frac{90}{x+15}$ ч.

По условию, автомобилист прибыл в город на полчаса (0,5 ч) раньше, чем мотоциклист. Это означает, что время мотоциклиста больше времени автомобилиста на 0,5 часа. Составим уравнение:

$t_м - t_а = 0.5$

$\frac{90}{x} - \frac{90}{x+15} = 0.5$

Теперь решим это рациональное уравнение. По смыслу задачи скорость $x$ должна быть положительной, то есть $x > 0$. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+15)$:

$\frac{90(x+15) - 90x}{x(x+15)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{90x + 1350 - 90x}{x^2 + 15x} = 0.5$

$\frac{1350}{x^2 + 15x} = 0.5$

Используя основное свойство пропорции, получим:

$1350 = 0.5 \cdot (x^2 + 15x)$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2700 = x^2 + 15x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 15x - 2700 = 0$

Решим полученное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2700) = 225 + 10800 = 11025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{11025} = 105$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-15 + 105}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$x_2 = \frac{-15 - 105}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость мотоциклиста равна 45 км/ч.

Теперь найдем скорость автомобилиста:

$x + 15 = 45 + 15 = 60$ км/ч.

Проверим результат. Время мотоциклиста: $t_м = 90 / 45 = 2$ часа. Время автомобилиста: $t_а = 90 / 60 = 1.5$ часа. Разница во времени $2 - 1.5 = 0.5$ часа. Условие выполнено.

Ответ: скорость автомобилиста — 60 км/ч, скорость мотоциклиста — 45 км/ч.