Номер 30.18, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.18, страница 172.

Условие.

30.18 Турист проплыл на байдарке 24 км по озеру и 9 км против течения реки за то же время, какое понадобилось ему, чтобы проплыть по течению 45 км. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть собственная скорость байдарки, которая равна скорости движения в стоячей воде (по озеру), составляет $x$ км/ч.

Скорость течения реки дана в условии и равна 2 км/ч. Исходя из этого, можем выразить скорости движения байдарки по реке:

• Скорость по течению реки: $(x + 2)$ км/ч.
• Скорость против течения реки: $(x - 2)$ км/ч.

Для того чтобы турист мог плыть против течения, его собственная скорость должна быть выше скорости течения. Следовательно, должно выполняться условие: $x > 2$.

Теперь найдем время, затраченное на каждый из участков пути, по формуле $t = \frac{S}{v}$ (время = расстояние / скорость).

• Время движения по озеру (24 км): $t_1 = \frac{24}{x}$ ч.
• Время движения против течения (9 км): $t_2 = \frac{9}{x-2}$ ч.
• Время движения по течению (45 км): $t_3 = \frac{45}{x+2}$ ч.

По условию задачи, время, затраченное на путь по озеру и против течения, равно времени, затраченному на путь по течению. Составим уравнение, приравняв эти временные промежутки: $$ t_1 + t_2 = t_3 $$ $$ \frac{24}{x} + \frac{9}{x-2} = \frac{45}{x+2} $$

Для решения уравнения сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$: $$ \frac{24(x-2) + 9x}{x(x-2)} = \frac{45}{x+2} $$ $$ \frac{24x - 48 + 9x}{x^2 - 2x} = \frac{45}{x+2} $$ $$ \frac{33x - 48}{x^2 - 2x} = \frac{45}{x+2} $$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение). Область допустимых значений для $x$ исключает значения 0, 2 и -2. $$ (33x - 48)(x+2) = 45(x^2 - 2x) $$ Раскроем скобки: $$ 33x^2 + 66x - 48x - 96 = 45x^2 - 90x $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 33x^2 + 18x - 96 = 45x^2 - 90x $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $$ 45x^2 - 33x^2 - 90x - 18x + 96 = 0 $$ $$ 12x^2 - 108x + 96 = 0 $$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 12: $$ x^2 - 9x + 8 = 0 $$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а их произведение равно 8. Корнями уравнения являются: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = 8 $$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи $x > 2$.

• Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x > 2$. Этот корень не имеет физического смысла в контексте задачи, так как с такой скоростью турист не смог бы плыть против течения.
• Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$.

Следовательно, скорость туриста по озеру составляет 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.