Номер 30.25, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.25, страница 173.

Условие.

30.25 Мастерская к определённому сроку должна была выпустить 5400 пар обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар больше плана и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это плановое количество пар обуви, которое мастерская должна была выпускать в день, а $t$ — плановое количество дней на выполнение всего заказа.

По условию, общий объем заказа составляет 5400 пар обуви. Тогда мы можем составить первое уравнение, связывающее плановые показатели:

$x \cdot t = 5400$

Фактически мастерская выпускала на 30 пар в день больше плана, то есть ее фактическая производительность была $(x + 30)$ пар в день. Заказ был выполнен на 9 дней раньше срока, то есть фактическое время работы составило $(t - 9)$ дней.

Это позволяет нам составить второе уравнение, описывающее фактическое выполнение заказа:

$(x + 30) \cdot (t - 9) = 5400$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} xt = 5400 \\ (x + 30)(t - 9) = 5400\end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = \frac{5400}{t}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{5400}{t} + 30)(t - 9) = 5400$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\frac{5400}{t} \cdot t - \frac{5400}{t} \cdot 9 + 30 \cdot t - 30 \cdot 9 = 5400$

$5400 - \frac{48600}{t} + 30t - 270 = 5400$

Вычтем 5400 из обеих частей уравнения и упростим:

$-\frac{48600}{t} + 30t - 270 = 0$

Умножим все члены уравнения на $t$ (при условии $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$-48600 + 30t^2 - 270t = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$ и разделим все его члены на 30 для упрощения:

$30t^2 - 270t - 48600 = 0 \quad | : 30$

$t^2 - 9t - 1620 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1620) = 81 + 6480 = 6561$

Найдем корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{6561}}{2} = \frac{9 \pm 81}{2}$

Получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = \frac{9 + 81}{2} = \frac{90}{2} = 45$

$t_2 = \frac{9 - 81}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как $t$ — это плановое количество дней, оно не может быть отрицательным. Следовательно, плановое время выполнения заказа составляет 45 дней.

Вопрос задачи — за сколько дней был выполнен заказ фактически. Фактическое время выполнения заказа на 9 дней меньше планового:

$t_{факт} = t - 9 = 45 - 9 = 36$

Ответ: 36 дней.