Номер 30.30, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.30, страница 174.

Условие.

30.30 Числитель несократимой обыкновенной дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на $\frac{1}{3}$. Найдите эту дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть знаменатель искомой несократимой дроби равен $x$. По условию, числитель на 5 меньше знаменателя, значит, он равен $x - 5$. Исходная дробь имеет вид $\frac{x-5}{x}$.

Если числитель уменьшить на 2, он станет равен $(x - 5) - 2 = x - 7$. Если знаменатель увеличить на 16, он станет равен $x + 16$. Новая дробь будет равна $\frac{x-7}{x+16}$.

Известно, что после этих изменений дробь уменьшилась на $\frac{1}{3}$. Это означает, что разность между исходной и новой дробью равна $\frac{1}{3}$. Составим уравнение:

$\frac{x-5}{x} - \frac{x-7}{x+16} = \frac{1}{3}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+16)$:

$\frac{(x-5)(x+16) - x(x-7)}{x(x+16)} = \frac{1}{3}$

Раскроем скобки и упростим числитель левой части:

$\frac{(x^2 + 16x - 5x - 80) - (x^2 - 7x)}{x^2 + 16x} = \frac{1}{3}$

$\frac{x^2 + 11x - 80 - x^2 + 7x}{x^2 + 16x} = \frac{1}{3}$

$\frac{18x - 80}{x^2 + 16x} = \frac{1}{3}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(18x - 80) = 1(x^2 + 16x)$

$54x - 240 = x^2 + 16x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 16x - 54x + 240 = 0$

$x^2 - 38x + 240 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1444 - 960 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

$x_1 = \frac{-(-38) + 22}{2 \cdot 1} = \frac{38 + 22}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-(-38) - 22}{2 \cdot 1} = \frac{38 - 22}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Мы получили два возможных значения для знаменателя. Проверим каждое из них согласно условию, что исходная дробь является несократимой.

1. Если $x=30$, то числитель равен $30-5=25$. Дробь равна $\frac{25}{30}$. Эта дробь сократима, так как и числитель, и знаменатель делятся на 5. Следовательно, это решение не удовлетворяет условию задачи.

2. Если $x=8$, то числитель равен $8-5=3$. Дробь равна $\frac{3}{8}$. Эта дробь несократима, так как числа 3 и 8 не имеют общих делителей, кроме 1. Это решение удовлетворяет условию.

Проверим выполнение второго условия для дроби $\frac{3}{8}$.

Новый числитель: $3 - 2 = 1$.

Новый знаменатель: $8 + 16 = 24$.

Новая дробь: $\frac{1}{24}$.

Разность дробей: $\frac{3}{8} - \frac{1}{24} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{1}{24} = \frac{9}{24} - \frac{1}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

Условие выполняется. Значит, искомая дробь — $\frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$