Номер 30.36, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.36, страница 175.

Условие.

30.36 Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он задержался у семафора на 10 мин. Увеличив после этого скорость на 10 км/ч, он прибыл на место назначения с опозданием на 2 мин. Определите первоначальную скорость поезда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда.

Весь путь составляет 54 км. Поезд проехал 14 км, после чего ему осталось проехать $54 - 14 = 40$ км.

На этом оставшемся участке пути поезд столкнулся с задержкой и изменением скорости. Задержка у семафора составила 10 минут. Однако итоговое опоздание на место назначения составило всего 2 минуты. Это означает, что за счет увеличения скорости на оставшихся 40 км поезд смог компенсировать (наверстать) $10 - 2 = 8$ минут от времени задержки.

Переведем это время в часы, так как скорость измеряется в км/ч: $8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15} \text{ ч}$.

Время, которое поезд должен был бы потратить на оставшиеся 40 км, если бы ехал с первоначальной скоростью $v$, равно $\frac{40}{v}$ ч.

После увеличения скорости на 10 км/ч, новая скорость стала $v + 10$ км/ч. Время, которое поезд фактически потратил на преодоление 40 км, равно $\frac{40}{v+10}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем движения на этом участке и есть то самое наверстанное время, то есть $\frac{2}{15}$ часа. Составим уравнение: $\frac{40}{v} - \frac{40}{v+10} = \frac{2}{15}$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2: $\frac{20}{v} - \frac{20}{v+10} = \frac{1}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+10)$: $\frac{20(v+10) - 20v}{v(v+10)} = \frac{1}{15}$

Раскроем скобки и упростим числитель: $\frac{20v + 200 - 20v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{15}$ $\frac{200}{v^2 + 10v} = \frac{1}{15}$

Используя свойство пропорции (крест-накрест), получим: $v^2 + 10v = 200 \cdot 15$ $v^2 + 10v = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 10v - 3000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-10 + \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$ $v_2 = \frac{-10 - \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -60$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда была 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.