Номер 30.41, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.41, страница 175.

Условие.

30.41 Бригада трактористов к определённому сроку должна была вспахать 1800 га. Ежедневно перевыполняя план на 25 га, уже за 4 дня до срока бригада не только выполнила задание, но и вспахала дополнительно 200 га. Какова была ежедневная норма работы бригады по плану?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ га/день — это ежедневная норма работы бригады по плану.Тогда плановое количество дней, необходимое для выполнения задания (вспахать 1800 га), составляет $t = \frac{1800}{x}$ дней.

Согласно условию, бригада ежедневно перевыполняла план на 25 га. Это означает, что их фактическая производительность составляла $(x + 25)$ га/день.

Бригада завершила работу на 4 дня раньше установленного срока, поэтому фактическое время работы составило $(t - 4)$ дней. Подставив выражение для $t$, получаем, что фактическое время равно $(\frac{1800}{x} - 4)$ дней.

За это время бригада вспахала не только плановые 1800 га, но и дополнительно 200 га. Таким образом, общий объем выполненной работы равен $1800 + 200 = 2000$ га.

Теперь мы можем составить уравнение, умножив фактическую производительность на фактическое время и приравняв к общему объему выполненной работы:$(x + 25) \cdot (\frac{1800}{x} - 4) = 2000$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала преобразуем выражение в скобках:$(x + 25) \cdot \frac{1800 - 4x}{x} = 2000$

Умножим обе части уравнения на $x$, так как по смыслу задачи $x$ (норма) не может быть равно нулю:$(x + 25)(1800 - 4x) = 2000x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:$1800x - 4x^2 + 25 \cdot 1800 - 25 \cdot 4x = 2000x$$1800x - 4x^2 + 45000 - 100x = 2000x$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном квадратном виде $ax^2 + bx + c = 0$:$-4x^2 + 1700x + 45000 = 2000x$$-4x^2 + 1700x - 2000x + 45000 = 0$$-4x^2 - 300x + 45000 = 0$

Для удобства решения разделим все члены уравнения на $-4$:$x^2 + 75x - 11250 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 75^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11250) = 5625 + 45000 = 50625$Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{50625} = 225$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{-75 + 225}{2} = \frac{150}{2} = 75$$x_2 = \frac{-75 - 225}{2} = \frac{-300}{2} = -150$

Так как $x$ обозначает ежедневную норму работы, это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -150$ не подходит по смыслу задачи.Единственное верное решение — $x = 75$.

Таким образом, ежедневная норма работы бригады по плану составляла 75 га.

Ответ: 75 га.