Номер 30.40, страница 175, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.40, страница 175.

Условие.

30.40 Для перевозки 180 туристов было заказано несколько автобусов. Однако два автобуса не прибыли, а туристов приехало на 8 человек больше, чем ожидалось. Поэтому пришлось в каждом автобусе разместить на 17 человек больше, чем предполагалось. Сколько туристов было размещено в каждом автобусе?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — это изначально запланированное количество автобусов, а $y$ — изначально запланированное количество туристов в одном автобусе.

По первоначальному плану, 180 туристов должны были разместиться в $x$ автобусах. Отсюда получаем первое уравнение:
$x \cdot y = 180$

Теперь опишем фактическую ситуацию:
Количество туристов оказалось на 8 больше, чем ожидалось: $180 + 8 = 188$ человек.
Количество автобусов оказалось на 2 меньше, чем было заказано: $x - 2$.
Количество человек в каждом автобусе оказалось на 17 больше, чем предполагалось: $y + 17$.

Произведение фактического количества автобусов на фактическое количество людей в каждом из них равно общему числу прибывших туристов. Отсюда получаем второе уравнение:
$(x - 2)(y + 17) = 188$

Мы получили систему из двух уравнений:
$1) \quad xy = 180 \implies y = \frac{180}{x}$
$2) \quad (x - 2)(y + 17) = 188$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$(x - 2)(\frac{180}{x} + 17) = 188$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$x \cdot \frac{180}{x} + 17x - 2 \cdot \frac{180}{x} - 2 \cdot 17 = 188$
$180 + 17x - \frac{360}{x} - 34 = 188$

Приведем подобные слагаемые:
$146 + 17x - \frac{360}{x} = 188$
$17x - \frac{360}{x} - 42 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$ (так как количество автобусов $x$ не может быть равно нулю):
$17x^2 - 360 - 42x = 0$
$17x^2 - 42x - 360 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-42)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-360) = 1764 + 24480 = 26244$
$\sqrt{D} = \sqrt{26244} = 162$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 + 162}{2 \cdot 17} = \frac{204}{34} = 6$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 - 162}{2 \cdot 17} = \frac{-120}{34}$

Поскольку $x$ — это количество автобусов, оно должно быть положительным целым числом. Следовательно, изначально было заказано $x=6$ автобусов.

Вопрос задачи — сколько туристов было размещено в каждом автобусе по факту.
Фактическое количество прибывших автобусов: $x - 2 = 6 - 2 = 4$.
Фактическое количество прибывших туристов: $180 + 8 = 188$.

Чтобы найти количество туристов в каждом автобусе, разделим общее число туристов на число автобусов:
$\frac{188}{4} = 47$

Для проверки найдем запланированное и фактическое количество человек в автобусе:
Планировалось: $y = \frac{180}{6} = 30$ человек на автобус.
Фактически: $47$ человек на автобус.
Разница: $47 - 30 = 17$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 47.