Номер 30.33, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.33, страница 174.

Условие.

30.33 Велосипедист проехал 30 км от города до турбазы. На обратном пути он ехал 2 ч с той же скоростью, а затем на 3 км/ч быстрее и затратил на обратный путь на 6 мин меньше, чем на путь из города до турбазы. Какое время затратил велосипедист на обратный путь?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, с которой он ехал из города до турбазы.

Расстояние от города до турбазы составляет 30 км. Время, затраченное на этот путь, равно:
$t_1 = \frac{30}{v}$ ч.

На обратном пути велосипедист сначала ехал 2 часа с той же скоростью $v$ км/ч. За это время он проехал расстояние:
$S_1 = v \cdot t = v \cdot 2 = 2v$ км.

Оставшееся расстояние составляет:
$S_2 = 30 - 2v$ км.

Это расстояние он проехал со скоростью, которая на 3 км/ч больше первоначальной, то есть $v + 3$ км/ч. Время, затраченное на этот участок пути, равно:
$t_{2\_участок} = \frac{30 - 2v}{v+3}$ ч.

Общее время, затраченное на обратный путь, складывается из времени на первом и втором участках:
$t_2 = 2 + \frac{30 - 2v}{v+3}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на 6 минут меньше, чем на путь из города до турбазы. Переведем 6 минут в часы:
$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.

Таким образом, $t_2 = t_1 - \frac{1}{10}$. Составим уравнение:

$2 + \frac{30 - 2v}{v+3} = \frac{30}{v} - \frac{1}{10}$

Для удобства решения преобразуем левую часть уравнения, приведя слагаемые к общему знаменателю:
$t_2 = \frac{2(v+3) + (30 - 2v)}{v+3} = \frac{2v + 6 + 30 - 2v}{v+3} = \frac{36}{v+3}$

Теперь уравнение принимает более простой вид:
$\frac{36}{v+3} = \frac{30}{v} - \frac{1}{10}$

Перенесем слагаемые с переменной в одну часть:
$\frac{30}{v} - \frac{36}{v+3} = \frac{1}{10}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+3)$:
$\frac{30(v+3) - 36v}{v(v+3)} = \frac{1}{10}$
$\frac{30v + 90 - 36v}{v^2 + 3v} = \frac{1}{10}$
$\frac{90 - 6v}{v^2 + 3v} = \frac{1}{10}$

Используем свойство пропорции:
$10(90 - 6v) = 1 \cdot (v^2 + 3v)$
$900 - 60v = v^2 + 3v$

Получаем квадратное уравнение:
$v^2 + 63v - 900 = 0$

Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 63^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 3969 + 3600 = 7569$
$\sqrt{D} = \sqrt{7569} = 87$

Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-63 + 87}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$v_2 = \frac{-63 - 87}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому первоначальная скорость велосипедиста $v = 12$ км/ч.

Вопрос задачи — найти время, затраченное на обратный путь ($t_2$). Используем ранее выведенную формулу:
$t_2 = \frac{36}{v+3}$

Подставим значение $v = 12$:
$t_2 = \frac{36}{12+3} = \frac{36}{15} = \frac{12}{5} = 2.4$ часа.

Переведем $2.4$ часа в часы и минуты:
$2.4 \text{ ч} = 2 \text{ ч} + 0.4 \text{ ч} = 2 \text{ ч} + (0.4 \cdot 60) \text{ мин} = 2 \text{ ч } 24 \text{ мин}$.

Ответ: 2 часа 24 минуты.