Номер 30.32, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.32, страница 174.

Условие.

30.32 Через два часа после выхода из $A$ автобус был задержан на 30 мин и, чтобы прибыть в $B$ по расписанию, должен был увеличить скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость автобуса, если известно, что расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно 260 км.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость автобуса.

Общее расстояние между пунктами А и В равно $S = 260$ км.

Время, которое автобус должен был затратить на весь путь по расписанию, составляет $t_{расп} = \frac{S}{v} = \frac{260}{v}$ часов.

Автобус ехал 2 часа с первоначальной скоростью $v$. За это время он проехал расстояние $S_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

После этого ему осталось проехать расстояние $S_2 = S - S_1 = 260 - 2v$ км.

Затем автобус был задержан на 30 минут, что составляет $t_{задержки} = 0.5$ часа.

Чтобы прибыть в В по расписанию, автобус увеличил скорость на 5 км/ч. Новая скорость стала $v_{новая} = v + 5$ км/ч.

Время, затраченное на оставшийся путь, равно $t_2 = \frac{S_2}{v_{новая}} = \frac{260 - 2v}{v + 5}$ часов.

Общее время поездки с учетом задержки равно времени по расписанию. Составим уравнение:$t_{1} + t_{задержки} + t_{2} = t_{расп}$$2 + 0.5 + \frac{260 - 2v}{v + 5} = \frac{260}{v}$

Упростим полученное уравнение:$2.5 + \frac{260 - 2v}{v + 5} = \frac{260}{v}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(v+5)$:$\frac{2.5(v + 5) + (260 - 2v)}{v + 5} = \frac{260}{v}$$\frac{2.5v + 12.5 + 260 - 2v}{v + 5} = \frac{260}{v}$$\frac{0.5v + 272.5}{v + 5} = \frac{260}{v}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$v(0.5v + 272.5) = 260(v + 5)$$0.5v^2 + 272.5v = 260v + 1300$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$0.5v^2 + 272.5v - 260v - 1300 = 0$$0.5v^2 + 12.5v - 1300 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:$v^2 + 25v - 2600 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:$D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2600) = 625 + 10400 = 11025$$\sqrt{D} = \sqrt{11025} = 105$

Найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 + 105}{2} = \frac{80}{2} = 40$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-25 - 105}{2} = \frac{-130}{2} = -65$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -65$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость автобуса составляла 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.