Номер 30.28, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.28, страница 174.

Условие.

30.28 Бригада должна была изготовить 120 изделий к определённому сроку. Однако она изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 3 дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготовлять бригада по плану?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ — это количество изделий, которое бригада должна была изготовлять в день по плану. Тогда плановое время для изготовления 120 изделий составляет $\frac{120}{x}$ дней.

По условию, бригада изготовляла в день на 2 изделия больше, чем предполагалось. Следовательно, фактическая производительность бригады составила $(x+2)$ изделия в день.

Фактическое время, затраченное на изготовление 120 изделий, равно $\frac{120}{x+2}$ дней.

Известно, что работа была закончена на 3 дня раньше срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем составляет 3 дня. На основе этого составим уравнение:

$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+2} = 3$

Решим это уравнение. Важно отметить, что по смыслу задачи $x$ должно быть положительным числом ($x > 0$).

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{120(x+2) - 120x}{x(x+2)} = 3$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{120x + 240 - 120x}{x^2 + 2x} = 3$

Упростим числитель:

$\frac{240}{x^2 + 2x} = 3$

Теперь, зная что $x \neq 0$ и $x \neq -2$, мы можем умножить обе части на знаменатель:

$240 = 3(x^2 + 2x)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$80 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 80 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Корень $x_1 = -10$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество изделий, изготовляемых в день, не может быть отрицательным. Следовательно, единственным подходящим решением является $x = 8$.

Проверим решение:
Плановая производительность: 8 изделий в день. Плановое время: $120 / 8 = 15$ дней.
Фактическая производительность: $8 + 2 = 10$ изделий в день. Фактическое время: $120 / 10 = 12$ дней.
Разница во времени: $15 - 12 = 3$ дня. Решение верное.

Ответ: 8 изделий в день должна была изготовлять бригада по плану.