Номер 30.24, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.24, страница 173.

Условие.

30.24 Моторная лодка прошла 20 км против течения реки и 14 км по озеру, затратив на путь по озеру на 1 ч меньше, чем на путь по реке. Скорость течения реки равна 4 км/ч. Найдите скорость хода лодки против течения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

30.24

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость лодки против течения реки. Скорость лодки в озере (в стоячей воде) равна ее собственной скорости. Собственная скорость лодки $v_{с}$ связана со скоростью против течения $v_{против}$ и скоростью течения $v_{т}$ формулой: $v_{против} = v_{с} - v_{т}$.

Отсюда можно выразить собственную скорость лодки, которая будет ее скоростью при движении по озеру:

$v_{с} = v_{против} + v_{т}$

По условию задачи, скорость течения реки $v_{т} = 4$ км/ч. Подставив это значение и наше обозначение $v_{против} = x$, получаем скорость лодки по озеру:

$v_{озеро} = v_{с} = x + 4$ км/ч.

Теперь найдем время, затраченное на каждый участок пути, используя формулу $t = \frac{S}{v}$.

Время движения по реке (против течения) на расстояние $S_{река} = 20$ км:

$t_{река} = \frac{20}{x}$ ч.

Время движения по озеру на расстояние $S_{озеро} = 14$ км:

$t_{озеро} = \frac{14}{x + 4}$ ч.

В условии сказано, что на путь по озеру лодка затратила на 1 час меньше, чем на путь по реке. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{река} - t_{озеро} = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{20}{x} - \frac{14}{x + 4} = 1$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы $x > 0$, так как скорость не может быть отрицательной или нулевой. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 4)$ и умножим на него обе части уравнения:

$20(x + 4) - 14x = x(x + 4)$

Раскроем скобки:

$20x + 80 - 14x = x^2 + 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$6x + 80 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 6x - 80 = 0$

$x^2 - 2x - 80 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

По смыслу задачи скорость $x$ не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -8$ не подходит. Следовательно, скорость лодки против течения реки равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.