Номер 30.17, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.17, страница 172.

Условие.

30.17 Моторная лодка прошла 54 км по течению реки и 42 км против течения за то же время, что она проходит 96 км в стоячей воде. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x - 3)$ км/ч. Заметим, что для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость лодки была больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, которое лодка затратила на путь в 54 км по течению, равно $t_1 = \frac{54}{x + 3}$ ч.

Время, которое лодка затратила на путь в 42 км против течения, равно $t_2 = \frac{42}{x - 3}$ ч.

Общее время движения по реке составляет $T_{река} = t_1 + t_2 = \frac{54}{x + 3} + \frac{42}{x - 3}$ ч.

Время, за которое лодка проходит 96 км в стоячей воде, составляет $T_{стоячая} = \frac{96}{x}$ ч.

Согласно условию задачи, эти два промежутка времени равны. Составим и решим уравнение:

$\frac{54}{x + 3} + \frac{42}{x - 3} = \frac{96}{x}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x + 3)(x - 3) = x^2 - 9$:

$\frac{54(x - 3) + 42(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{96}{x}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{54x - 162 + 42x + 126}{x^2 - 9} = \frac{96}{x}$

$\frac{96x - 36}{x^2 - 9} = \frac{96}{x}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая область допустимых значений $x > 3$:

$x(96x - 36) = 96(x^2 - 9)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$96x^2 - 36x = 96x^2 - 864$

Вычтем $96x^2$ из обеих частей уравнения:

$-36x = -864$

Найдем $x$:

$x = \frac{-864}{-36} = 24$

Полученное значение $x=24$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 24 км/ч.

Проверка:

Время движения по реке: $\frac{54}{24+3} + \frac{42}{24-3} = \frac{54}{27} + \frac{42}{21} = 2 + 2 = 4$ часа.

Время движения в стоячей воде: $\frac{96}{24} = 4$ часа.

$4 = 4$. Решение верно.

Ответ: 24 км/ч.