Номер 30.23, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.23, страница 173.

Условие.

30.23 Расстояние 210 км катер проходит по течению реки на 4 ч быстрее, чем против течения. Определите собственную скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(x - 3)$ км/ч.

Время, за которое катер проходит расстояние 210 км по течению, равно $t_{по} = \frac{210}{x + 3}$ часов.

Время, за которое катер проходит то же расстояние против течения, равно $t_{против} = \frac{210}{x - 3}$ часов.

По условию задачи, время движения по течению на 4 часа меньше, чем время движения против течения. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{против} - t_{по} = 4$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{210}{x - 3} - \frac{210}{x + 3} = 4$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю. Так как $x$ — это скорость, она должна быть положительной. Кроме того, для движения против течения собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3)$:

$\frac{210(x + 3) - 210(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 4$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{210x + 630 - 210x + 630}{x^2 - 9} = 4$

$\frac{1260}{x^2 - 9} = 4$

Теперь решим получившееся уравнение:

$1260 = 4(x^2 - 9)$

Разделим обе части на 4:

$315 = x^2 - 9$

$x^2 = 315 + 9$

$x^2 = 324$

$x = \sqrt{324}$

$x = 18$ или $x = -18$.

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x = -18$ не является решением задачи. Собственная скорость катера равна 18 км/ч. Это значение удовлетворяет условию $x > 3$.

Ответ: 18 км/ч.