Номер 30.29, страница 174, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.29, страница 174.

Условие.

30.29 Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 3. Если к числителю прибавить 7, а к знаменателю 5, то дробь увеличится на $ \frac{1}{2} $. Найдите эту дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Обозначим числитель исходной дроби через $x$. Согласно условию, знаменатель этой дроби на 3 больше числителя, следовательно, он равен $x+3$. Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x}{x+3}$.

Если к числителю прибавить 7, то новый числитель станет $x+7$. Если к знаменателю прибавить 5, то новый знаменатель станет $(x+3)+5 = x+8$. Новая дробь будет равна $\frac{x+7}{x+8}$.

По условию задачи, новая дробь на $\frac{1}{2}$ больше исходной. На основании этого составим уравнение:

$\frac{x+7}{x+8} = \frac{x}{x+3} + \frac{1}{2}$

Для решения уравнения перенесем дробь с переменной в левую часть:

$\frac{x+7}{x+8} - \frac{x}{x+3} = \frac{1}{2}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+8)(x+3)$.

$\frac{(x+7)(x+3) - x(x+8)}{(x+8)(x+3)} = \frac{1}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе левой части:

$\frac{x^2 + 3x + 7x + 21 - (x^2 + 8x)}{x^2 + 3x + 8x + 24} = \frac{1}{2}$

$\frac{x^2 + 10x + 21 - x^2 - 8x}{x^2 + 11x + 24} = \frac{1}{2}$

$\frac{2x + 21}{x^2 + 11x + 24} = \frac{1}{2}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение). Область допустимых значений $x \neq -3$ и $x \neq -8$.

$2(2x + 21) = 1(x^2 + 11x + 24)$

$4x + 42 = x^2 + 11x + 24$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 11x - 4x + 24 - 42 = 0$

$x^2 + 7x - 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $-18$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -9$

Оба корня входят в область допустимых значений. Теперь найдем соответствующие дроби.

1. Если $x=2$, то числитель равен 2, а знаменатель равен $2+3=5$. Исходная дробь — $\frac{2}{5}$.

Проверка: новая дробь равна $\frac{2+7}{5+5} = \frac{9}{10}$. Разность между новой и исходной дробью: $\frac{9}{10} - \frac{2}{5} = \frac{9-4}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Условие выполняется.

2. Если $x=-9$, то числитель равен -9, а знаменатель равен $-9+3=-6$. Исходная дробь — $\frac{-9}{-6}$ (или $\frac{3}{2}$).

Проверка: новая дробь равна $\frac{-9+7}{-6+5} = \frac{-2}{-1} = 2$. Разность между новой и исходной дробью: $2 - \frac{-9}{-6} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$. Условие также выполняется.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $\frac{2}{5}$ или $\frac{-9}{-6}$.