Номер 30.26, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.26, страница 173.

Условие.

30.26 Два поля имеют общую площадь 20 га. С первого поля убрали 550 т, а со второго 540 т картофеля. Сколько тонн картофеля собирали с 1 га каждого поля, если с 1 га первого поля собирали на 10 т меньше, чем с 1 га второго поля?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ тонн картофеля собирали с 1 гектара второго поля. Тогда урожайность первого поля составляет $(x - 10)$ тонн с гектара, так как по условию с 1 га первого поля собирали на 10 т меньше.

Зная общую массу собранного картофеля и урожайность для каждого поля, мы можем выразить площадь каждого поля через $x$.

Площадь первого поля равна отношению всей собранной массы картофеля к урожайности с одного гектара:

$S_1 = \frac{550}{x - 10}$ га.

Площадь второго поля вычисляется аналогично:

$S_2 = \frac{540}{x}$ га.

По условию, общая площадь двух полей составляет 20 га. Следовательно, мы можем составить уравнение, сложив площади двух полей:

$S_1 + S_2 = 20$

$\frac{550}{x - 10} + \frac{540}{x} = 20$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \ne 0$ и $x - 10 \ne 0$. Также, поскольку урожайность не может быть отрицательной, $x > 0$ и $x - 10 > 0$, что означает $x > 10$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 10)$ и умножим обе части уравнения на него:

$550x + 540(x - 10) = 20x(x - 10)$

Раскроем скобки:

$550x + 540x - 5400 = 20x^2 - 200x$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$1090x - 5400 = 20x^2 - 200x$

$20x^2 - 200x - 1090x + 5400 = 0$

$20x^2 - 1290x + 5400 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 10:

$2x^2 - 129x + 540 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-129)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 540 = 16641 - 4320 = 12321$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{12321} = 111$

$x_1 = \frac{129 + 111}{2 \cdot 2} = \frac{240}{4} = 60$

$x_2 = \frac{129 - 111}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x > 10$.

Корень $x_1 = 60$ удовлетворяет условию $60 > 10$.

Корень $x_2 = 4.5$ не удовлетворяет условию $x > 10$, так как в этом случае урожайность первого поля была бы отрицательной ($4.5 - 10 = -5.5$), что невозможно. Следовательно, этот корень является посторонним.

Таким образом, урожайность второго поля составляет 60 тонн с гектара.

Теперь найдем урожайность первого поля:

$x - 10 = 60 - 10 = 50$ тонн с гектара.

Ответ: с первого поля собирали 50 тонн картофеля с 1 га, а со второго — 60 тонн с 1 га.