Номер 30.19, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.19, страница 173.

Условие.

30.19 Катер прошёл 27 км по течению реки и 42 км против течения, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Какова скорость катера против течения, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть скорость катера против течения реки равна $x$ км/ч. Это искомая величина.

Скорость течения реки по условию равна $3$ км/ч.

Собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) будет на $3$ км/ч больше, чем скорость против течения, то есть она равна $(x + 3)$ км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки будет еще на $3$ км/ч больше собственной скорости и составит $(x + 3) + 3 = (x + 6)$ км/ч.

Катер прошёл $42$ км против течения. Время, затраченное на этот путь, равно $t_{против} = \frac{S}{v} = \frac{42}{x}$ ч.

Катер прошёл $27$ км по течению. Время, затраченное на этот путь, равно $t_{по} = \frac{S}{v} = \frac{27}{x+6}$ ч.

Из условия задачи известно, что на путь по течению катер затратил на $1$ час меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:

$t_{против} - t_{по} = 1$

$\frac{42}{x} - \frac{27}{x+6} = 1$

Для решения этого уравнения приведём дроби к общему знаменателю $x(x+6)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая, что $x > 0$, так как это скорость.

$42(x+6) - 27x = x(x+6)$

Раскроем скобки:

$42x + 252 - 27x = x^2 + 6x$

Приведём подобные слагаемые:

$15x + 252 = x^2 + 6x$

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 6x - 15x - 252 = 0$

$x^2 - 9x - 252 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089$

Найдём корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{9 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 33}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{9 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 33}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, скорость катера против течения реки равна $21$ км/ч.

Проверим решение:
Скорость против течения: $21$ км/ч. Время: $\frac{42}{21} = 2$ ч.
Скорость по течению: $21 + 6 = 27$ км/ч. Время: $\frac{27}{27} = 1$ ч.
Разница во времени: $2 - 1 = 1$ ч, что соответствует условию задачи.

Ответ: $21$ км/ч.