Номер 30.14, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.14, страница 172.

Условие.

30.14 Колонне автомашин было дано задание перевезти со склада в речной порт 60 т груза. В связи с неблагоприятной погодой на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, и поэтому колонну дополнили ещё четырьмя машинами. Сколько машин было в колонне первоначально?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $x$ — первоначальное количество машин в колонне. Согласно плану, каждая машина должна была перевезти $\frac{60}{x}$ тонн груза.

В связи с неблагоприятной погодой фактическая загрузка каждой машины составила $(\frac{60}{x} - 0.5)$ тонн, а количество машин увеличилось до $(x+4)$.

Так как общий вес перевезенного груза остался равен 60 тоннам, мы можем составить уравнение, приравняв произведение нового количества машин на их новую загрузку к общему весу груза:

$(x + 4) \cdot (\frac{60}{x} - 0.5) = 60$

Для решения уравнения раскроем скобки. Учитываем, что по условию задачи $x > 0$.

$x \cdot \frac{60}{x} - x \cdot 0.5 + 4 \cdot \frac{60}{x} - 4 \cdot 0.5 = 60$

$60 - 0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 60$

Приведем подобные слагаемые и вычтем 60 из обеих частей уравнения:

$-0.5x + \frac{240}{x} - 2 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $x$:

$-0.5x^2 + 240 - 2x = 0$

Умножим уравнение на $-2$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения с целыми коэффициентами:

$x^2 + 4x - 480 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 16 + 1920 = 1936$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{1936}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 44}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{1936}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 44}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку количество машин не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -24$ не является решением задачи. Следовательно, первоначально в колонне было 20 машин.

Ответ: 20.