Номер 30.11, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.11, страница 171.

Условие.

30.11 На путь, равный 18 км, велосипедист затратил времени на 1 ч 48 мин меньше, чем пешеход, так как проезжал за 1 ч на 9 км больше, чем проходил пешеход. Каковы скорости велосипедиста и пешехода?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть скорость пешехода равна $v_п$ км/ч. Согласно условию, скорость велосипедиста на 9 км/ч больше, следовательно, она равна $(v_п + 9)$ км/ч.

Оба они преодолели путь $S = 18$ км.

Время, затраченное пешеходом, составляет $t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{18}{v_п}$ часов.

Время, затраченное велосипедистом, составляет $t_в = \frac{S}{v_в} = \frac{18}{v_п + 9}$ часов.

По условию, велосипедист затратил на путь на 1 час 48 минут меньше, чем пешеход. Выразим эту разницу во времени в часах:

$\Delta t = 1 \text{ ч } 48 \text{ мин } = 1 + \frac{48}{60} \text{ ч } = 1 + \frac{4}{5} \text{ ч } = 1 + 0.8 \text{ ч } = 1.8 \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, связывающее время пешехода и велосипедиста:

$t_п - t_в = \Delta t$

$\frac{18}{v_п} - \frac{18}{v_п + 9} = 1.8$

Для удобства решения разделим обе части уравнения на 1.8:

$\frac{18}{1.8 \cdot v_п} - \frac{18}{1.8 \cdot (v_п + 9)} = \frac{1.8}{1.8}$

$\frac{10}{v_п} - \frac{10}{v_п + 9} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_п(v_п + 9)$:

$\frac{10(v_п + 9) - 10v_п}{v_п(v_п + 9)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{10v_п + 90 - 10v_п}{v_п^2 + 9v_п} = 1$

$\frac{90}{v_п^2 + 9v_п} = 1$

При условии, что $v_п \neq 0$ и $v_п \neq -9$ (что очевидно для скорости), мы можем записать:

$v_п^2 + 9v_п = 90$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_п^2 + 9v_п - 90 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 81 + 360 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Найдем корни уравнения:

$(v_п)_1 = \frac{-9 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

$(v_п)_2 = \frac{-9 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{-30}{2} = -15$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $(v_п)_2 = -15$ не соответствует условию задачи. Следовательно, скорость пешехода составляет 6 км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста:

$v_в = v_п + 9 = 6 + 9 = 15$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода — 6 км/ч, скорость велосипедиста — 15 км/ч.