Номер 30.8, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.8, страница 171.

Условие.

30.8 Увеличив скорость на 10 км/ч, поезд сократил на 1 ч время, затрачиваемое им на прохождение пути в 720 км. Найдите первоначальную скорость поезда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда время, которое поезд должен был затратить на прохождение пути в 720 км, составляет $t_1 = \frac{720}{v}$ часов.

Согласно условию, поезд увеличил скорость на 10 км/ч, следовательно, его новая скорость стала $(v + 10)$ км/ч. Время, затраченное на тот же путь с новой скоростью, равно $t_2 = \frac{720}{v + 10}$ часов.

Известно, что в результате увеличения скорости время в пути сократилось на 1 час. Это означает, что разница между первоначальным и новым временем составляет 1 час:

$t_1 - t_2 = 1$

Составим уравнение, подставив в него выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{720}{v} - \frac{720}{v + 10} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 10)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, при условии, что $v \neq 0$ и $v \neq -10$. Так как $v$ — это скорость, она должна быть положительной, поэтому эти условия выполняются.

$720(v + 10) - 720v = 1 \cdot v(v + 10)$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения:

$720v + 7200 - 720v = v^2 + 10v$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$7200 = v^2 + 10v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 10v - 7200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7200) = 100 + 28800 = 28900$

Найдем корни уравнения по формуле $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{-10 + \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 170}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-10 - \sqrt{28900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 170}{2} = \frac{-180}{2} = -90$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -90$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда составляла 80 км/ч.

Проверка:

Время при скорости 80 км/ч: $t_1 = \frac{720}{80} = 9$ часов.

Новая скорость: $80 + 10 = 90$ км/ч.

Время при новой скорости: $t_2 = \frac{720}{90} = 8$ часов.

Разница во времени: $t_1 - t_2 = 9 - 8 = 1$ час. Решение верное.

Ответ: 80 км/ч.