Номер 30.1, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 30. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 30.1, страница 170.

Условие.

30.1 Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с обратной ей дробью, то получится $2\frac{1}{12}$. Найдите исходную дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

30.1

Пусть знаменатель искомой дроби равен $x$. По условию, числитель на 1 меньше знаменателя, следовательно, он равен $x-1$. Тогда исходная дробь имеет вид $\frac{x-1}{x}$.

Дробь, обратная исходной, равна $\frac{x}{x-1}$.

Сумма этих двух дробей по условию равна $2\frac{1}{12}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{x-1}{x} + \frac{x}{x-1} = 2\frac{1}{12}$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{25}{12}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{x-1}{x} + \frac{x}{x-1} = \frac{25}{12}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-1)$. Область допустимых значений: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

$\frac{(x-1)(x-1)}{x(x-1)} + \frac{x \cdot x}{x(x-1)} = \frac{25}{12}$

$\frac{(x-1)^2 + x^2}{x^2 - x} = \frac{25}{12}$

$\frac{x^2 - 2x + 1 + x^2}{x^2 - x} = \frac{25}{12}$

$\frac{2x^2 - 2x + 1}{x^2 - x} = \frac{25}{12}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$12(2x^2 - 2x + 1) = 25(x^2 - x)$

Раскроем скобки:

$24x^2 - 24x + 12 = 25x^2 - 25x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$25x^2 - 24x^2 - 25x + 24x - 12 = 0$

$x^2 - x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$. Подбором находим корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -3$

Оба корня входят в область допустимых значений. Теперь найдем саму дробь для каждого из корней.

Случай 1: $x = 4$.

Знаменатель равен 4, числитель равен $4 - 1 = 3$. Исходная дробь — $\frac{3}{4}$. Проверим, удовлетворяет ли эта дробь начальному условию: числитель (3) действительно на 1 меньше знаменателя (4). Этот вариант подходит.

Случай 2: $x = -3$.

Знаменатель равен -3, числитель равен $-3 - 1 = -4$. Дробь — $\frac{-4}{-3}$, которая равна $\frac{4}{3}$. Проверим, удовлетворяет ли дробь $\frac{4}{3}$ начальному условию: ее числитель (4) не является на 1 меньшим, чем ее знаменатель (3). Следовательно, этот вариант не является решением задачи.

Таким образом, единственная подходящая дробь — это $\frac{3}{4}$.

Выполним проверку. Сумма дроби $\frac{3}{4}$ и обратной ей дроби $\frac{4}{3}$:

$\frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{9}{12} + \frac{16}{12} = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}$

Результат совпадает с условием.

Ответ: $\frac{3}{4}$