Номер 29.24, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.24, страница 169.

Условие.

29.24 a) $(x^2 - 9)^2 - 8(x^2 - 9) + 7 = 0;$

б) $(x^2 - 4x + 4)^2 + 2(x - 2)^2 = 3;$

в) $(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0;$

г) $2(x^2 + 2x + 1)^2 - (x + 1)^2 = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $(x^2 - 9)^2 - 8(x^2 - 9) + 7 = 0;$

Это биквадратное уравнение относительно выражения $(x^2 - 9)$. Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 9$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 8y + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 7$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

Случай 1: $y_1 = 1$

$x^2 - 9 = 1$

$x^2 = 10$

$x = \pm\sqrt{10}$

Случай 2: $y_2 = 7$

$x^2 - 9 = 7$

$x^2 = 16$

$x = \pm\sqrt{16}$

$x = \pm 4$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{10}, x_2 = \sqrt{10}, x_3 = -4, x_4 = 4$.

б) $(x^2 - 4x + 4)^2 + 2(x - 2)^2 = 3;$

Заметим, что выражение в первой скобке является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Подставим это в исходное уравнение:

$((x - 2)^2)^2 + 2(x - 2)^2 = 3$

$(x - 2)^4 + 2(x - 2)^2 - 3 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = (x - 2)^2$. Так как $y$ представляет собой квадрат выражения, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = -3$

Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $y_1 = 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$(x - 2)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $x - 2 = 1 \implies x = 3$

2) $x - 2 = -1 \implies x = 1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

в) $(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0;$

Это уравнение также решается методом замены переменной. Пусть $y = x^2 - 3x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$y^2 + 3y - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -28. Корни:

$y_1 = 4$

$y_2 = -7$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y_1 = 4$

$x^2 - 3x = 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна 3, а произведение -4. Корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -1$

Случай 2: $y_2 = -7$

$x^2 - 3x = -7$

$x^2 - 3x + 7 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только два корня.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 4$.

г) $2(x^2 + 2x + 1)^2 - (x + 1)^2 = 1.$

Заметим, что выражение в первой скобке является полным квадратом: $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$. Подставим это в уравнение:

$2((x + 1)^2)^2 - (x + 1)^2 = 1$

$2(x + 1)^4 - (x + 1)^2 - 1 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = (x + 1)^2$. Учитываем, что $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$2y^2 - y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$y_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$y_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $y_2 = -1/2$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его. Остается только $y_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$(x + 1)^2 = 1$

Это уравнение распадается на два:

1) $x + 1 = 1 \implies x = 0$

2) $x + 1 = -1 \implies x = -2$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0$.