Номер 29.21, страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.21, страница 169.

Условие.

29.21 a) $\frac{x + 1}{x^3 - 3x^2 + x - 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x - 2}{x^3 - 3x^2 - x + 3}$

б) $\frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^4 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1}$

в) $\frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4}$

г) $\frac{5}{x^3 - 2x^2 - 2x + 1} - \frac{2}{x^3 - 4x^2 + 4x - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{x+1}{x^3 - 3x^2 + x - 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x-2}{x^3 - 3x^2 - x + 3}$

1. Разложим знаменатели на множители.

$x^3 - 3x^2 + x - 3 = x^2(x - 3) + 1(x - 3) = (x^2 + 1)(x - 3)$

$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

$x^3 - 3x^2 - x + 3 = x^2(x - 3) - 1(x - 3) = (x^2 - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - 3)$

2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{x+1}{(x^2+1)(x-3)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} = \frac{x-2}{(x-1)(x+1)(x-3)}$

3. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$ $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$ $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ ($x^2+1 \neq 0$ для всех действительных $x$). Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 1, x \neq 3$.

4. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x^2+1)(x-3)(x-1)(x+1)$:

$(x+1)(x-1)(x+1) + 1(x-3) = (x-2)(x^2+1)$

5. Упростим и решим полученное уравнение:

$(x+1)^2(x-1) + x - 3 = x^3 + x - 2x^2 - 2$

$(x^2 + 2x + 1)(x - 1) + x - 3 = x^3 - 2x^2 + x - 2$

$x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x + x - 1 + x - 3 = x^3 - 2x^2 + x - 2$

$x^3 + x^2 - 4 = x^3 - 2x^2 + x - 2$

$x^2 + 2x^2 - x - 4 + 2 = 0$

$3x^2 - x - 2 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

7. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 1$. Корень $x_2 = -2/3$ входит в ОДЗ. Следовательно, единственным решением является $x = -2/3$.

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

б) $\frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^4 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1}$

1. Разложим знаменатели на множители.

$16x^4 - 1 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$

$8x^3 + 4x^2 + 2x + 1 = 4x^2(2x + 1) + 1(2x + 1) = (4x^2 + 1)(2x + 1)$

2. Перепишем уравнение:

$\frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)} = \frac{18x + 5}{(4x^2 + 1)(2x + 1)}$

3. ОДЗ: $2x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1/2$; $2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1/2$. Итак, $x \neq \pm 1/2$.

4. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$:

$25(2x - 1)(2x + 1) - (8x + 29) = (18x + 5)(2x - 1)$

5. Упростим и решим уравнение:

$25(4x^2 - 1) - 8x - 29 = 36x^2 - 18x + 10x - 5$

$100x^2 - 25 - 8x - 29 = 36x^2 - 8x - 5$

$100x^2 - 8x - 54 = 36x^2 - 8x - 5$

$100x^2 - 36x^2 - 8x + 8x - 54 + 5 = 0$

$64x^2 - 49 = 0$

$64x^2 = 49$

$x^2 = \frac{49}{64}$

$x = \pm \sqrt{\frac{49}{64}} \implies x = \pm \frac{7}{8}$

6. Оба корня, $x = 7/8$ и $x = -7/8$, входят в ОДЗ.

Ответ: $\pm\frac{7}{8}$.

в) $\frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} = \frac{2x + 2}{x^2 - 4}$

1. Разложим знаменатели на множители.

$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x^2 + 4)(x - 2)$

$x^3 + 2x^2 + 4x + 8 = x^2(x + 2) + 4(x + 2) = (x^2 + 4)(x + 2)$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

2. Перепишем уравнение:

$\frac{x^2 - 2x + 4}{(x^2 + 4)(x - 2)} + \frac{x^2 + 2x + 4}{(x^2 + 4)(x + 2)} = \frac{2x + 2}{(x - 2)(x + 2)}$

3. ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Итак, $x \neq \pm 2$.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $(x^2 + 4)(x - 2)(x + 2)$:

$(x^2 - 2x + 4)(x + 2) + (x^2 + 2x + 4)(x - 2) = (2x + 2)(x^2 + 4)$

5. Левая часть представляет собой сумму формул суммы и разности кубов:

$(x^3 + 2^3) + (x^3 - 2^3) = (2x + 2)(x^2 + 4)$

$x^3 + 8 + x^3 - 8 = 2x^3 + 8x + 2x^2 + 8$

$2x^3 = 2x^3 + 2x^2 + 8x + 8$

$0 = 2x^2 + 8x + 8$

6. Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x + 2)^2 = 0$

$x + 2 = 0 \implies x = -2$

7. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x = -2$ не входит в ОДЗ ($x \neq -2$), поэтому является посторонним.

Ответ: корней нет.

г) $\frac{5}{x^3 - 2x^2 - 2x + 1} - \frac{2}{x^3 - 4x^2 + 4x - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$

1. Разложим знаменатели на множители. Для кубических многочленов найдем рациональные корни.

Для $P(x) = x^3 - 2x^2 - 2x + 1$: $P(-1) = -1 - 2 + 2 + 1 = 0$, значит $(x+1)$ является множителем. Делением в столбик получаем: $x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = (x + 1)(x^2 - 3x + 1)$.

Для $Q(x) = x^3 - 4x^2 + 4x - 1$: $Q(1) = 1 - 4 + 4 - 1 = 0$, значит $(x-1)$ является множителем. Делением в столбик получаем: $x^3 - 4x^2 + 4x - 1 = (x - 1)(x^2 - 3x + 1)$.

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

2. Перепишем уравнение:

$\frac{5}{(x + 1)(x^2 - 3x + 1)} - \frac{2}{(x - 1)(x^2 - 3x + 1)} = \frac{1}{(x - 1)(x + 1)}$

3. ОДЗ: $x \neq \pm 1$ и $x^2 - 3x + 1 \neq 0$. Корни $x^2 - 3x + 1 = 0$ равны $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 1, x \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $(x - 1)(x + 1)(x^2 - 3x + 1)$:

$5(x - 1) - 2(x + 1) = 1(x^2 - 3x + 1)$

5. Упростим и решим уравнение:

$5x - 5 - 2x - 2 = x^2 - 3x + 1$

$3x - 7 = x^2 - 3x + 1$

$0 = x^2 - 3x - 3x + 1 + 7$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 2, x_2 = 4$.

7. Оба корня $x = 2$ и $x = 4$ входят в ОДЗ, так как они не равны $\pm 1$ и $\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $2; 4$.