Номер 29.14, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.14, страница 167.

Условие.

Решите уравнение, используя метод введения новой переменной:

29.14 a) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0;$

б) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0;$

в) $x^4 - 10x^2 + 25 = 0;$

г) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^4 - 17x^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение, учитывая, что $x^4 = (x^2)^2 = t^2$:

$t^2 - 17t + 16 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 17$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 16$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 16$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$, поэтому оба являются решениями для $t$.

Теперь выполним обратную замену:

1) При $t = 1$, получаем $x^2 = 1$. Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2) При $t = 16$, получаем $x^2 = 16$. Корни этого уравнения: $x_3 = 4$ и $x_4 = -4$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-4; -1; 1; 4$.

б) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену переменной: $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 3t - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < 0$), поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t=2$:

$x^2 = 2$

Отсюда $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

в) $x^4 - 10x^2 + 25 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Уравнение примет вид:

$t^2 - 10t + 25 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(t - 5)^2 = 0$

Отсюда $t - 5 = 0$, следовательно, $t = 5$.

Корень $t=5$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 5$

Корни этого уравнения: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.

г) $x^4 + 5x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 5t - 36 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 4$ подходит.

Корень $t_2 = -9$ не подходит, так как он отрицательный.

Выполним обратную замену для $t = 4$:

$x^2 = 4$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Ответ: $-2; 2$.