Номер 29.13, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.13, страница 167.

Условие.

29.13 а) Существуют ли такие значения переменной, при которых сумма дробей $ \frac{x + 7}{x - 2} $ и $ \frac{x - 1}{x + 2} $ равна 1?

б) При каких значениях переменной разность дробей $ \frac{1 - 3x}{4x - 3} $ и $ \frac{x + 5}{x + 2} $ равна их произведению?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы выяснить, существуют ли такие значения переменной, составим и решим уравнение, приравняв сумму дробей к 1:

$\frac{x+7}{x-2} + \frac{x-1}{x+2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:

$\frac{(x+7)(x+2) + (x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 1$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$, учитывая ОДЗ:

$(x+7)(x+2) + (x-1)(x-2) = x^2 - 4$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x^2 + 2x + 7x + 14) + (x^2 - 2x - x + 2) = x^2 - 4$

$(x^2 + 9x + 14) + (x^2 - 3x + 2) = x^2 - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 6x + 16 = x^2 - 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2x^2 - x^2 + 6x + 16 + 4 = 0$

$x^2 + 6x + 20 = 0$

Для решения полученного квадратного уравнения найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 36 - 80 = -44$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует таких значений переменной $x$, при которых сумма данных дробей равна 1.

Ответ: нет, таких значений не существует.

б) Чтобы найти значения переменной, при которых разность дробей равна их произведению, составим и решим уравнение:

$\frac{1-3x}{4x-3} - \frac{x+5}{x+2} = \frac{1-3x}{4x-3} \cdot \frac{x+5}{x+2}$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$:

$4x - 3 \neq 0 \implies 4x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{4}$

$x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(4x-3)(x+2)$, учитывая ОДЗ:

$(1-3x)(x+2) - (x+5)(4x-3) = (1-3x)(x+5)$

Раскроем скобки:

$(x + 2 - 3x^2 - 6x) - (4x^2 - 3x + 20x - 15) = (x + 5 - 3x^2 - 15x)$

$(-3x^2 - 5x + 2) - (4x^2 + 17x - 15) = -3x^2 - 14x + 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3x^2 - 5x + 2 - 4x^2 - 17x + 15 = -3x^2 - 14x + 5$

$-7x^2 - 22x + 17 = -3x^2 - 14x + 5$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = -3x^2 - 14x + 5 - (-7x^2 - 22x + 17)$

$0 = -3x^2 - 14x + 5 + 7x^2 + 22x - 17$

$0 = 4x^2 + 8x - 12$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Подбором находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -3$

Оба найденных корня ($1$ и $-3$) принадлежат области допустимых значений, так как $1 \neq \frac{3}{4}$, $1 \neq -2$, и $-3 \neq \frac{3}{4}$, $-3 \neq -2$.

Ответ: $x = 1$, $x = -3$.