Номер 29.6, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.6, страница 166.

Условие.

29.6 a) $\frac{x^2 + 4x}{x + 2} = \frac{2x + 3}{3}$;

б) $\frac{5x - 3}{x - 3} = \frac{2x - 3}{x}$;

в) $\frac{x^2 - 5}{x - 1} = \frac{7x + 10}{9}$;

г) $\frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{3x + 2}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $\frac{x^2 + 4x}{x+2} = \frac{2x+3}{3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(x^2 + 4x) = (2x+3)(x+2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 12x = 2x^2 + 4x + 3x + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 12x = 2x^2 + 7x + 6$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 2x^2 + 12x - 7x - 6 = 0$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-5+7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-5-7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Оба корня (1 и -6) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$).

Ответ: $1; -6$.

б)

Дано уравнение: $\frac{5x-3}{x-3} = \frac{2x-3}{x}$.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, т.е. $x-3 \neq 0$ и $x \neq 0$. Отсюда $x \neq 3$ и $x \neq 0$.

Применим перекрестное умножение:

$x(5x-3) = (x-3)(2x-3)$

Раскроем скобки:

$5x^2 - 3x = 2x^2 - 6x - 3x + 9$

$5x^2 - 3x = 2x^2 - 9x + 9$

Перенесем все в левую часть:

$5x^2 - 2x^2 - 3x + 9x - 9 = 0$

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -2$

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Оба корня (1 и -3) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq 0$).

Ответ: $1; -3$.

в)

Дано уравнение: $\frac{x^2-5}{x-1} = \frac{7x+10}{9}$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

Используем перекрестное умножение:

$9(x^2-5) = (x-1)(7x+10)$

Раскроем скобки:

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 10x - 7x - 10$

$9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10$

Перенесем все в левую часть:

$9x^2 - 7x^2 - 3x - 45 + 10 = 0$

$2x^2 - 3x - 35 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 = 17^2$

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 17}{4}$

$x_1 = \frac{3+17}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{3-17}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Оба корня (5 и -3.5) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: $5; -3.5$.

г)

Дано уравнение: $\frac{2x+3}{x+2} = \frac{3x+2}{x}$.

ОДЗ: $x+2 \neq 0$ и $x \neq 0$. Отсюда $x \neq -2$ и $x \neq 0$.

Используем перекрестное умножение:

$x(2x+3) = (x+2)(3x+2)$

Раскроем скобки:

$2x^2 + 3x = 3x^2 + 2x + 6x + 4$

$2x^2 + 3x = 3x^2 + 8x + 4$

Перенесем все члены в правую часть для получения стандартного вида:

$0 = 3x^2 - 2x^2 + 8x - 3x + 4$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

Решим по теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

Оба корня (-1 и -4) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -2$ и $x \neq 0$).

Ответ: $-1; -4$.