Номер 28.47, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.47, страница 165.

Условие.

28.47 Докажите, что не существует такого значения параметра $p$, при котором уравнение $x^2 - px + p - 2 = 0$ имело бы только один корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Данное уравнение $x^2 - px + p - 2 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Квадратное уравнение имеет ровно один корень в том и только в том случае, когда его дискриминант равен нулю.

Найдем дискриминант $D$ данного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-p$, $c=p-2$.

Согласно формуле $D = b^2 - 4ac$, получаем: $D = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 2) = p^2 - 4p + 8$.

Чтобы исходное уравнение имело один корень, должно выполняться условие $D=0$. Это приводит нас к уравнению относительно параметра $p$: $p^2 - 4p + 8 = 0$.

Теперь необходимо выяснить, существуют ли действительные значения $p$, удовлетворяющие этому уравнению. Для этого найдем дискриминант этого нового квадратного уравнения (обозначим его $D_p$): $D_p = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$.

Поскольку $D_p < 0$, уравнение $p^2 - 4p + 8 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения параметра $p$, при котором дискриминант исходного уравнения $D$ равен нулю.

К этому же выводу можно прийти, преобразовав выражение для дискриминанта $D$ путем выделения полного квадрата: $D = p^2 - 4p + 8 = (p^2 - 4p + 4) + 4 = (p-2)^2 + 4$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(p-2)^2 \ge 0$. Следовательно, $D = (p-2)^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что дискриминант $D$ всегда строго положителен при любом значении параметра $p$. Если дискриминант строго положителен, квадратное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Таким образом, мы доказали, что не существует такого значения параметра $p$, при котором данное уравнение имело бы только один корень.

Ответ: Доказано, что не существует такого значения параметра p, при котором уравнение имело бы только один корень, так как его дискриминант $D = (p-2)^2 + 4$ всегда строго больше нуля.