Номер 28.46, страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 28. Формулы корней квадратного уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 28.46, страница 165.

Условие.

28.46 Решите уравнение с параметром p:

a) $x^2 - (2p - 2)x + p^2 - 2p = 0;$

б) $x^2 - \frac{2p + 3}{6}x + \frac{p}{6} = 0;$

в) $x^2 - (1 - p)x - 2p = 2p^2;$

г) $x^2 + \frac{3p + 2}{6}x + \frac{p}{6} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дано квадратное уравнение относительно $x$: $x^2 - (2p - 2)x + p^2 - 2p = 0$.
Для решения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-(2p-2)$, $c=p^2-2p$.
$D = (-(2p - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p^2 - 2p) = (2p - 2)^2 - 4(p^2 - 2p) = (4p^2 - 8p + 4) - (4p^2 - 8p) = 4$.
Так как $D = 4 > 0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $p$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{(2p - 2) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{2p - 2 \pm 2}{2}$.
$x_1 = \frac{2p - 2 + 2}{2} = \frac{2p}{2} = p$.
$x_2 = \frac{2p - 2 - 2}{2} = \frac{2p - 4}{2} = p - 2$.

Ответ: $x_1 = p$, $x_2 = p - 2$.

б) Дано уравнение $x^2 - \frac{2p + 3}{6}x + \frac{p}{6} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:
$6x^2 - (2p + 3)x + p = 0$.
Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=6$, $b=-(2p+3)$, $c=p$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-(2p + 3))^2 - 4 \cdot 6 \cdot p = (2p + 3)^2 - 24p = (4p^2 + 12p + 9) - 24p = 4p^2 - 12p + 9$.
Заметим, что дискриминант является полным квадратом: $D = (2p - 3)^2$.
Так как $D \ge 0$ при любом $p$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{(2p + 3) \pm \sqrt{(2p - 3)^2}}{2 \cdot 6} = \frac{2p + 3 \pm (2p - 3)}{12}$.
$x_1 = \frac{2p + 3 + (2p - 3)}{12} = \frac{4p}{12} = \frac{p}{3}$.
$x_2 = \frac{2p + 3 - (2p - 3)}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{p}{3}$.

в) Дано уравнение $x^2 - (1 - p)x - 2p = 2p^2$.
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + (p - 1)x - 2p - 2p^2 = 0$.
$x^2 + (p - 1)x - (2p^2 + 2p) = 0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=p-1$, $c=-(2p^2+2p)$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (p - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2p^2 + 2p)) = (p^2 - 2p + 1) + (8p^2 + 8p) = 9p^2 + 6p + 1$.
Дискриминант является полным квадратом: $D = (3p + 1)^2$.
Так как $D \ge 0$ при любом $p$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(p - 1) \pm \sqrt{(3p + 1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - p \pm (3p + 1)}{2}$.
$x_1 = \frac{1 - p + (3p + 1)}{2} = \frac{2p + 2}{2} = p + 1$.
$x_2 = \frac{1 - p - (3p + 1)}{2} = \frac{1 - p - 3p - 1}{2} = \frac{-4p}{2} = -2p$.

Ответ: $x_1 = p + 1$, $x_2 = -2p$.

г) Дано уравнение $x^2 + \frac{3p + 2}{6}x + \frac{p}{6} = 0$.
Умножим обе части уравнения на 6:
$6x^2 + (3p + 2)x + p = 0$.
Коэффициенты: $a=6$, $b=3p+2$, $c=p$.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (3p + 2)^2 - 4 \cdot 6 \cdot p = (9p^2 + 12p + 4) - 24p = 9p^2 - 12p + 4$.
Дискриминант является полным квадратом: $D = (3p - 2)^2$.
Так как $D \ge 0$ при любом $p$, уравнение всегда имеет действительные корни.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(3p + 2) \pm \sqrt{(3p - 2)^2}}{2 \cdot 6} = \frac{-(3p + 2) \pm (3p - 2)}{12}$.
$x_1 = \frac{-(3p + 2) + (3p - 2)}{12} = \frac{-3p - 2 + 3p - 2}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-(3p + 2) - (3p - 2)}{12} = \frac{-3p - 2 - 3p + 2}{12} = \frac{-6p}{12} = -\frac{p}{2}$.

Ответ: $x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = -\frac{p}{2}$.