Номер 29.3, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.3, страница 166.

Условие.

29.3 a)

$\frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{5} = 1;$

б) $\frac{3x + 4}{5} - \frac{x^2 + 4x - 3}{3} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $ \frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{5} = 1 $

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 5. Наименьшее общее кратное чисел 8 и 5 равно 40.

$ 40 \cdot \left( \frac{x^2 - 4}{8} - \frac{2x + 3}{5} \right) = 40 \cdot 1 $

$ \frac{40(x^2 - 4)}{8} - \frac{40(2x + 3)}{5} = 40 $

$ 5(x^2 - 4) - 8(2x + 3) = 40 $

Раскроем скобки:

$ 5x^2 - 20 - 16x - 24 = 40 $

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$ 5x^2 - 16x - 44 - 40 = 0 $

$ 5x^2 - 16x - 84 = 0 $

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-84) = 256 + 1680 = 1936 $

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ \sqrt{D} = \sqrt{1936} = 44 $

$ x_1 = \frac{-(-16) + 44}{2 \cdot 5} = \frac{16 + 44}{10} = \frac{60}{10} = 6 $

$ x_2 = \frac{-(-16) - 44}{2 \cdot 5} = \frac{16 - 44}{10} = \frac{-28}{10} = -2.8 $

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -2.8$.

б) $ \frac{3x + 4}{5} - \frac{x^2 + 4x - 3}{3} = 1 $

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3, которое равно 15.

$ 15 \cdot \left( \frac{3x + 4}{5} - \frac{x^2 + 4x - 3}{3} \right) = 15 \cdot 1 $

$ \frac{15(3x + 4)}{5} - \frac{15(x^2 + 4x - 3)}{3} = 15 $

$ 3(3x + 4) - 5(x^2 + 4x - 3) = 15 $

Раскроем скобки. Обращаем внимание на знак минус перед второй дробью.

$ 9x + 12 - 5x^2 - 20x + 15 = 15 $

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$ -5x^2 + (9x - 20x) + (12 + 15) - 15 = 0 $

$ -5x^2 - 11x + 27 - 15 = 0 $

$ -5x^2 - 11x + 12 = 0 $

Для удобства умножим все уравнение на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$ 5x^2 + 11x - 12 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 121 + 240 = 361 $

Найдем корни уравнения:

$ \sqrt{D} = \sqrt{361} = 19 $

$ x_1 = \frac{-11 + 19}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0.8 $

$ x_2 = \frac{-11 - 19}{2 \cdot 5} = \frac{-30}{10} = -3 $

Ответ: $x_1 = 0.8, x_2 = -3$.