Номер 29.10, страница 167, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.10, страница 167.

Условие.

29.10 а) $\frac{2x - 7}{x - 4} - \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{x + 6}{(x - 4)(x + 1)};$

б) $\frac{6}{(5 - x)(x + 1)} + \frac{x}{x + 1} = \frac{3}{x - 5};$

в) $\frac{x - 1}{x + 3} + \frac{28}{(x + 3)(x - 4)} = \frac{3x}{x - 4};$

г) $\frac{2x}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 3} = \frac{10}{(3 - x)(x + 2)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дано уравнение: $ \frac{2x-7}{x-4} - \frac{x+2}{x+1} = \frac{x+6}{(x-4)(x+1)} $.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$ x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 $

$ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \neq 4 $ и $ x \neq -1 $.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x-4)(x+1) $ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей:

$ (2x-7)(x+1) - (x+2)(x-4) = x+6 $

3. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ (2x^2 + 2x - 7x - 7) - (x^2 - 4x + 2x - 8) = x+6 $

$ (2x^2 - 5x - 7) - (x^2 - 2x - 8) = x+6 $

4. Упростим выражение:

$ 2x^2 - 5x - 7 - x^2 + 2x + 8 = x+6 $

$ x^2 - 3x + 1 = x+6 $

5. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 3x - x + 1 - 6 = 0 $

$ x^2 - 4x - 5 = 0 $

6. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней $ x_1 + x_2 = 4 $.

Произведение корней $ x_1 \cdot x_2 = -5 $.

Отсюда находим корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -1 $.

7. Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \neq 4, x \neq -1 $).

Корень $ x_1 = 5 $ удовлетворяет условиям ОДЗ.

Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $ x=-1 $ один из знаменателей исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $ x=-1 $ является посторонним корнем.

Ответ: 5.

б)

Дано уравнение: $ \frac{6}{(5-x)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5} $.

1. Заметим, что $ 5-x = -(x-5) $. Перепишем уравнение:

$ \frac{6}{-(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5} $

$ -\frac{6}{(x-5)(x+1)} + \frac{x}{x+1} = \frac{3}{x-5} $

2. ОДЗ: $ x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 $ и $ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $.

3. Общий знаменатель $ (x-5)(x+1) $. Умножим обе части на него:

$ -6 + x(x-5) = 3(x+1) $

4. Раскроем скобки и упростим:

$ -6 + x^2 - 5x = 3x + 3 $

5. Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$ x^2 - 5x - 3x - 6 - 3 = 0 $

$ x^2 - 8x - 9 = 0 $

6. Решим уравнение по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 8 $

$ x_1 \cdot x_2 = -9 $

Корни: $ x_1 = 9 $ и $ x_2 = -1 $.

7. Проверим корни по ОДЗ ($ x \neq 5, x \neq -1 $).

Корень $ x_1 = 9 $ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Ответ: 9.

в)

Дано уравнение: $ \frac{x-1}{x+3} + \frac{28}{(x+3)(x-4)} = \frac{3x}{x-4} $.

1. ОДЗ: $ x+3 \neq 0 \implies x \neq -3 $ и $ x-4 \neq 0 \implies x \neq 4 $.

2. Общий знаменатель $ (x+3)(x-4) $. Умножим обе части на него:

$ (x-1)(x-4) + 28 = 3x(x+3) $

3. Раскроем скобки:

$ (x^2 - 4x - x + 4) + 28 = 3x^2 + 9x $

$ x^2 - 5x + 32 = 3x^2 + 9x $

4. Перенесем все в одну сторону:

$ 3x^2 - x^2 + 9x + 5x - 32 = 0 $

$ 2x^2 + 14x - 32 = 0 $

Разделим уравнение на 2:

$ x^2 + 7x - 16 = 0 $

5. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 49 + 64 = 113 $

Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два действительных корня:

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{113}}{2} $

$ x_1 = \frac{-7 - \sqrt{113}}{2} $, $ x_2 = \frac{-7 + \sqrt{113}}{2} $.

6. Оба корня не равны -3 или 4, поэтому они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ \frac{-7 \pm \sqrt{113}}{2} $.

г)

Дано уравнение: $ \frac{2x}{x+2} - \frac{x-1}{x-3} = \frac{10}{(3-x)(x+2)} $.

1. Заметим, что $ 3-x = -(x-3) $. Перепишем уравнение:

$ \frac{2x}{x+2} - \frac{x-1}{x-3} = \frac{10}{-(x-3)(x+2)} $

$ \frac{2x}{x+2} - \frac{x-1}{x-3} = -\frac{10}{(x-3)(x+2)} $

2. ОДЗ: $ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2 $ и $ x-3 \neq 0 \implies x \neq 3 $.

3. Общий знаменатель $ (x+2)(x-3) $. Умножим обе части на него:

$ 2x(x-3) - (x-1)(x+2) = -10 $

4. Раскроем скобки:

$ (2x^2 - 6x) - (x^2 + 2x - x - 2) = -10 $

$ 2x^2 - 6x - (x^2 + x - 2) = -10 $

$ 2x^2 - 6x - x^2 - x + 2 = -10 $

5. Упростим и приведем к стандартному виду:

$ x^2 - 7x + 2 + 10 = 0 $

$ x^2 - 7x + 12 = 0 $

6. Решим уравнение по теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 7 $

$ x_1 \cdot x_2 = 12 $

Корни: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = 4 $.

7. Проверим корни по ОДЗ ($ x \neq -2, x \neq 3 $).

Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.

Корень $ x_2 = 4 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.