Номер 29.5, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.5, страница 166.

Условие.

29.5 a) $\frac{3x^2 - 14x}{x - 4} = \frac{8}{4 - x}$;

б) $\frac{-2x^2 + 6}{x + 6} = \frac{11x}{6 + x}$;

в) $\frac{2x^2}{x - 2} = \frac{-7x + 6}{2 - x}$;

г) $\frac{x^2 + x}{x + 3} = \frac{6}{3 + x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\frac{3x^2 - 14x}{x - 4} = \frac{8}{4 - x}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Поэтому $x - 4 \neq 0$ и $4 - x \neq 0$, что в обоих случаях дает $x \neq 4$.

Заметим, что $4 - x = -(x - 4)$. Используем это для преобразования правой части уравнения:

$\frac{8}{4 - x} = \frac{8}{-(x - 4)} = -\frac{8}{x - 4}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{3x^2 - 14x}{x - 4} = -\frac{8}{x - 4}$

Перенесем дробь из правой части в левую, изменив знак:

$\frac{3x^2 - 14x}{x - 4} + \frac{8}{x - 4} = 0$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{3x^2 - 14x + 8}{x - 4} = 0$

Рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие $x \neq 4$ мы уже учли. Приравняем числитель к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

$3x^2 - 14x + 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 + 10}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14 - 10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 4$ не входит в область допустимых значений, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $x \neq 4$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б) $\frac{-2x^2 + 6}{x + 6} = \frac{11x}{6 + x}$

ОДЗ: знаменатель $x + 6 \neq 0$, следовательно, $x \neq -6$.

Поскольку $x + 6 = 6 + x$, знаменатели дробей в левой и правой частях уравнения равны. Если у двух равных дробей равны знаменатели, то должны быть равны и их числители.

$-2x^2 + 6 = 11x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 11x - 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - 13}{4} = \frac{-24}{4} = -6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -6$). Корень $x_2 = -6$ является посторонним. Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\frac{2x^2}{x - 2} = \frac{-7x + 6}{2 - x}$

ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ и $2 - x \neq 0$, что дает $x \neq 2$.

Преобразуем знаменатель в правой части: $2 - x = -(x - 2)$.

$\frac{2x^2}{x - 2} = \frac{-7x + 6}{-(x - 2)}$

$\frac{2x^2}{x - 2} = -\frac{-7x + 6}{x - 2}$

$\frac{2x^2}{x - 2} = \frac{7x - 6}{x - 2}$

Приведем уравнение к общему знаменателю и перенесем все в левую часть:

$\frac{2x^2}{x - 2} - \frac{7x - 6}{x - 2} = 0$

$\frac{2x^2 - (7x - 6)}{x - 2} = 0$

$\frac{2x^2 - 7x + 6}{x - 2} = 0$

Приравняем числитель к нулю:

$2x^2 - 7x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Вычислим корни:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Согласно ОДЗ, $x \neq 2$. Поэтому корень $x_1 = 2$ является посторонним. Корень $x_2 = \frac{3}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

г) $\frac{x^2 + x}{x + 3} = \frac{6}{3 + x}$

ОДЗ: $x + 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Знаменатели дробей равны, так как $x + 3 = 3 + x$. Следовательно, мы можем приравнять числители:

$x^2 + x = 6$

Перенесем 6 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это уравнение можно решить по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна -1, а произведение равно -6. Это числа 2 и -3.

Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Также можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -3$). Корень $x_2 = -3$ является посторонним. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$.