Номер 29.2, страница 166, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 29. Рациональные уравнения. Глава 4. Квадратные уравнения. Часть 2 - номер 29.2, страница 166.

Условие.

29.2 а) $\frac{x^2 + 3x}{2} + \frac{x - 3x^2}{8} = 2x;$

б) $\frac{2x + 1}{3} - \frac{4x - x^2}{12} = \frac{x^2 - 4}{9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Исходное уравнение: $\frac{x^2+3x}{2} + \frac{x-3x^2}{8} = 2x$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим все части уравнения на наименьший общий знаменатель. Для знаменателей 2 и 8 наименьшим общим знаменателем является 8.

$8 \cdot \frac{x^2+3x}{2} + 8 \cdot \frac{x-3x^2}{8} = 8 \cdot 2x$

Выполним умножение:

$4(x^2+3x) + 1(x-3x^2) = 16x$

Раскроем скобки:

$4x^2 + 12x + x - 3x^2 = 16x$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 3x^2) + (12x + x) = 16x$

$x^2 + 13x = 16x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 13x - 16x = 0$

$x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

$x_1 = 0$

или

$x-3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

Ответ: $0; 3$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{2x+1}{3} - \frac{4x-x^2}{12} = \frac{x^2-4}{9}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 3, 12 и 9. Разложим их на простые множители: $3 = 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Наименьшее общее кратное будет $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Умножим обе части уравнения на 36:

$36 \cdot \frac{2x+1}{3} - 36 \cdot \frac{4x-x^2}{12} = 36 \cdot \frac{x^2-4}{9}$

Выполним сокращение:

$12(2x+1) - 3(4x-x^2) = 4(x^2-4)$

Раскроем скобки. Обратим внимание на знак минус перед второй дробью.

$24x + 12 - 12x + 3x^2 = 4x^2 - 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$3x^2 + (24x - 12x) + 12 = 4x^2 - 16$

$3x^2 + 12x + 12 = 4x^2 - 16$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 = (4x^2 - 3x^2) - 12x + (-16 - 12)$

$0 = x^2 - 12x - 28$

Решим полученное квадратное уравнение $x^2 - 12x - 28 = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$a=1, b=-12, c=-28$

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 14$.